Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II MP-MPI — Partie F (Q21 à Q26) : Racines toutes stables : perturbation p(rX), dérivée de F et formule sigma(p) = n - 1 - pi(J(p'))

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths II MP-MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Comme en Q3--Q5, toutes les racines de $p$ sont stables et simples ; $h = X p^{'}$ , $h_{0}$ est son réciproque et $p = λ p_{0}$ avec $λ \in {- 1, 1}$ (Q3). Rappels : $h = n p - λ (p^{'})_{0}$ et $h_{0} = λ (n p - X p^{'})$ (Q4) ; $J (f) = f_{0} (S)^{⊤} f_{0} (S) - f (S)^{⊤} f (S)$ , avec $S \in M_{n} (R)$ ; pour $r > 0$ , $F (r) = J (p (r X))$ .

Q21. Montrer que $J (h)$ est inversible.
Q22. Montrer qu'il existe $η > 0$ tel que, pour $r \in] 1 - η; 1 [$ , $p (r X)$ soit scindé, ait exactement $σ (p)$ racines dans $] - 1; 1 [$ et n'ait aucune racine stable.
Q23. Montrer que $π (\frac{n}{2 ( r - 1 )} F (r))$ tend vers $n - σ (p)$ quand $r \to 1^{-}$ .
Q24. Justifier que $F : R_{+}^{*} \to S_{n} (R)$ est dérivable et que $F^{'} (1) = 2 n p (S)^{⊤} p (S) - 2 S^{⊤} p^{'} (S)^{⊤} p (S) - 2 p (S)^{⊤} p^{'} (S) S$ .
Q25. En déduire, avec Q4, que $\frac{n}{2 ( r - 1 )} F (r) = J (h) + o (1)$ quand $r \to 1$ .
Q26. En admettant la continuité, sur $S_{n} (R)$ , de la liste décroissante des valeurs propres, en déduire que $σ (p) = n - 1 - π (J (p^{'}))$ .

Corrigé

Remarque générale. Les résultats des parties A à E (en particulier Q2, Q18, Q20) ont été établis pour un polynôme réel scindé quelconque de degré $n$ , et pour tout $n \geq 1$ ; on les applique ci-dessous à d'autres polynômes que $p$ .

Q21. Par Q5, $p^{'}$ est scindé sur $R$ , donc $h = X p^{'}$ aussi ; $h$ est réel, de degré $n$ (coefficient dominant $n a_{n} \neq = 0$ ). Toujours par Q5, $h \land h_{0} = 1$ : par Q2 appliquée à $h$ , $h$ n'a aucune racine stable. Par Q20 appliquée à $h$ , $J (h)$ est inversible.

Q22. Pour $r > 0$ , $p (r X) = a_{n} \prod_{j} (r X - α_{j}) = a_{n} r^{n} \prod_{j = 1}^{n} (X - \frac{α _{j}}{r})$ : il est réel, de degré $n$ , scindé, de racines simples $α_{j} / r$ .

Considérons l'ensemble fini

$T = {∣ α_{j} ∣ : ∣ α_{j} ∣ < 1} \cup {α_{i} α_{k} : 0 < α_{i} α_{k} < 1} \cup {0} \subset [0, 1 [,$

$τ = max T < 1$ et $η = 1 - τ > 0$ . Soit $r \in] 1 - η; 1 [=] τ; 1 [$ .

Racines dans $] - 1; 1 [$ . Si $∣ α_{j} ∣ < 1$ , alors $∣ α_{j} ∣ \leq τ < r$ , donc $∣ α_{j} / r ∣ < 1$ . Si $∣ α_{j} ∣ \geq 1$ , alors $∣ α_{j} / r ∣ = ∣ α_{j} ∣/ r > ∣ α_{j} ∣ \geq 1$ (car $0 < r < 1$ ). Les racines de $p (r X)$ dans $] - 1; 1 [$ correspondent donc exactement aux $α_{j}$ de $] - 1; 1 [$ : il y en a $σ (p)$ , les racines étant simples.

Aucune racine stable. Une racine stable $β$ de $p (r X)$ vérifierait $β = α_{i} / r$ et $1/ β = α_{k} / r$ pour des indices $i, k$ (éventuellement égaux), donc $α_{i} α_{k} = r^{2}$ . Or : si $α_{i} α_{k} \leq 0$ , c'est impossible car $r^{2} > 0$ ; si $α_{i} α_{k} \geq 1$ , impossible car $r^{2} < 1$ ; si $0 < α_{i} α_{k} < 1$ , alors $α_{i} α_{k} \leq τ < r$ , donc $α_{i} α_{k} < r^{2}$ . Ainsi $p (r X)$ n'a aucune racine stable.

Q23. Soit $r \in] 1 - η; 1 [$ et $p_{r} = p (r X)$ . Par Q22, $p_{r}$ est réel scindé de degré $n$ sans racine stable : par Q20, $F (r) = J (p_{r})$ est inversible, puis par Q18 et Q22, $π (F (r)) = σ (p_{r}) = σ (p)$ . La matrice symétrique $F (r)$ a $n$ valeurs propres réelles $μ_{1}, \dots, μ_{n}$ (avec multiplicité, théorème spectral), toutes non nulles. Avec $c = \frac{n}{2 ( r - 1 )} < 0$ , la matrice $c F (r)$ a pour valeurs propres les $c μ_{i}$ , et $c μ_{i} > 0 ⟺ μ_{i} < 0$ . Donc

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