Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II MP-MPI — Partie G (Q27 à Q28) : Méthode générale : p = fg avec f = p ∧ p_0, décomposition de f par PGCD successifs

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths II MP-MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Cas général : aucune hypothèse sur la stabilité ni sur la multiplicité des racines de $p$ (réel, scindé, de degré $n$ ). On pose $f = p \land p_{0}$ et $g$ tel que $p = f g$ . Les notations $σ$ , $π$ , $J$ (avec $S \in M_{n} (R)$ ) sont celles du problème ; Q26 : si toutes les racines d'un polynôme $q$ sont stables et simples, $σ (q) = de g q - 1 - π (J (q^{'}))$ .

Q27. Montrer que $σ (g) = π (J (g))$ .
Q28. Proposer une méthode construisant un nombre fini (éventuellement nul) de polynômes $g_{1}, \dots, g_{ℓ}$ , à racines stables et simples, tels que $f = g_{1} \dots g_{ℓ}$ . Exprimer $σ (p)$ à l'aide de $n$ , $de g g$ , $π (J (g))$ , $ℓ$ et $π (J (g_{1}^{'})), \dots, π (J (g_{ℓ}^{'}))$ .

Corrigé

Rappel du lemme de taille (établi en Q26). Pour $q$ réel scindé de degré $d \leq N$ , la matrice $J (q)$ calculée avec $S$ de taille $N$ est diagonale par blocs $Diag (J_{d} (q), 0_{N - d})$ , où $J_{d} (q)$ est calculée en taille $d$ ; donc $π (J_{N} (q)) = π (J_{d} (q))$ , et $J_{N} (q) = 0$ si $d = 0$ . Les résultats des parties A à F valent en toute taille $n \geq 1$ .

Pour un réel $γ$ , notons $m_{γ}$ la multiplicité de $γ$ comme racine de $p$ ( $m_{γ} = 0$ si $p (γ) \neq = 0$ ).

Q27. Description de $f$ et $g$ . Par Q1, $p_{0} = a_{n} \prod_{j} (1 - α_{j} X)$ ; pour $α_{j} \neq = 0$ , $1 - α_{j} X = - α_{j} (X - \frac{1}{α _{j}})$ , et les facteurs avec $α_{j} = 0$ valent $1$ . Donc $p_{0}$ est scindé, $0$ n'en est pas racine, et tout $γ \neq = 0$ est racine de $p_{0}$ avec la multiplicité $m_{1/ γ}$ . Par unicité de la décomposition en facteurs irréductibles dans $R [X]$ , le PGCD unitaire de deux polynômes scindés est le produit des $(X - γ)^{e_{γ}}$ , où $e_{γ}$ est la plus petite des deux multiplicités :

$f = γ \neq = 0 \prod (X - γ)^{m i n (m_{γ}, m_{1/ γ})}, g = \frac{p}{f} = a_{n} X^{m_{0}} γ \neq = 0 \prod (X - γ)^{m_{γ} - m i n (m_{γ}, m_{1/ γ})} .$

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