Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II PC — Partie 1 (Q5 à Q8) : La somme comme intégrale : intégrale à paramètre et somme géométrique

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths II PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de Q1 : $u_{k} = \frac{( - 1 ) ^{k}}{p k + q}$ , somme $S_{p, q}$ , sommes partielles $ϕ_{p, q} (n)$ . On fixe $(p, q) \in (N^{*})^{2}$ , on pose $α_{p, q} = \frac{p}{q}$ (noté $α$ ci-dessous) et, pour $t \in R_{+}$ ,

$I_{p, q} (t) = \int_{0}^{1} \frac{x ^{(t + 1) α}}{1 + x ^{α}} d x .$

Q5. Montrer que $I_{p, q}$ est bien définie et continue sur $R_{+}$ .
Q6. Déterminer la limite de $I_{p, q} (n)$ quand $n \to + \infty$ (elle est nulle).
Q7. Pour $x \in [0, 1]$ , calculer $\sum_{k = 0}^{n} (- x^{α})^{k}$ , puis en déduire $ϕ_{p, q} (n) = \frac{1}{q} (\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{α}} + (- 1)^{n} I_{p, q} (n))$ .
Q8. Montrer que $S_{p, q} = \int_{0}^{1} \frac{t ^{q - 1}}{1 + t ^{p}} d t$ pour tout $(p, q) \in (N^{*})^{2}$ .

Corrigé

Dans toute la partie, $α = \frac{p}{q} > 0$ . Pour un réel $a > 0$ , la fonction $x \mapsto x^{a} = e^{a l n x}$ est continue sur $] 0, 1]$ et se prolonge par continuité en $0$ par $0^{a} = 0$ ; on utilise ce prolongement. On note $f (t, x) = \frac{x ^{(t + 1) α}}{1 + x ^{α}}$ pour $(t, x) \in R_{+} \times [0, 1]$ .

Q5. Définition. Pour $t \in R_{+}$ fixé, l'exposant $(t + 1) α$ est $\geq α > 0$ , donc $x \mapsto x^{(t + 1) α}$ est continue sur $[0, 1]$ ; il en va de même de $x \mapsto 1 + x^{α}$ , qui ne s'annule pas ( $\geq 1$ ). Le quotient $x \mapsto f (t, x)$ est continu sur le segment $[0, 1]$ , donc intégrable : $I_{p, q} (t)$ existe.

Continuité. On applique le théorème de continuité sous le signe intégral avec $A = R_{+}$ (intervalle) et $I = [0, 1]$ :

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