Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II PC — Partie 2 (Q9 à Q16) : Sommes explicites : cas p = q, p divise q, p > q par éléments simples

Q9. Si $p=q$, Q8 donne $S_{p,p}={\int }_0^1\frac{t^{p-1}}{1+t^p}\mathrm{d}t$. On reconnaît la forme $\frac{1}{p}\cdot \frac{u^{\prime }}{u}$ avec $u(t)=1+t^p>0$ :

$$S_{p,p}=[\frac{1}{p}\ln (1+t^p){]}_0^1=\frac{\ln 2-\ln 1}{p}=\frac{\ln 2}{p}.$$

(Autre voie : $u_{p,p;k}=\frac{(-1{)}^k}{p(k+1)}$, donc $S_{p,p}=\frac{1}{p}{S}_{1,1}=\frac{\ln 2}{p}$ par Q3.)

Q10. Si $(p,q)\in E_2$, il existe un entier $\lambda$ tel que $q=\lambda p$ ; comme $q>p$, $\lambda \ge 2$. On pose donc $\lambda =\frac{q}{p}$. Pour tout $k$, $pk+q=p(k+\lambda )$, d'où, par linéarité de la somme d'une série convergente,

$$S_{p,q}=\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^k}{p(k+\lambda )}=\frac{1}{p}{S}_{1,\lambda }.$$

Comme $\lambda \ge 2$, Q4 s'applique : $S_{1,\lambda }=(-1{)}^{\lambda }({\varphi }_{1,1}(\lambda -2)-\ln 2)=(-1{)}^{\lambda -1}(\ln 2-{\varphi }_{1,1}(\lambda -2))$. Enfin, en posant $j=k+1$,

$${\varphi }_{1,1}(\lambda -2)=\sum _{k=0}^{\lambda -2}\frac{(-1{)}^k}{k+1}=\sum _{j=1}^{\lambda -1}\frac{(-1{)}^{j-1}}{j}.$$

Donc, avec $\lambda =\frac{q}{p}\in \mathbb{N}$, $\lambda \ge 2$ :

$$S_{p,q}=\frac{(-1{)}^{\lambda -1}}{p}(\ln 2-\sum _{k=1}^{\lambda -1}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}).$$

Ce que le correcteur attend : $\lambda$ entier (sans quoi $(-1{)}^{\lambda }$ n'a pas de sens : le rapport relève des « puissances non entières de $(-1)$ ») et un simple changement d'indice, sans interversion limite-intégrale.

Q11. Désormais $p>q\ge 1$, donc $p\ge 2$. Partie entière nulle : $\mathrm{deg}{X}^{q-1}=q-1<p=\mathrm{deg}(1+X^p)$.

Les pôles. Les racines complexes de $1+X^p$ sont les $z$ tels que $z^p=-1={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }$, soit les $p$ nombres distincts

$${\omega }_k={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_k},{\theta }_k=\frac{(2k+1)\pi }{p},k\in [[0,p-1]].$$

Ce sont $p$ racines distinctes d'un polynôme de degré $p$ : elles sont toutes simples, et aucune n'est racine du numérateur $X^{q-1}$ (elles sont non nulles). La décomposition en éléments simples dans $\mathbb{C}(X)$ s'écrit donc $F={\sum }_{k=0}^{p-1}\frac{c_k}{X-{\omega }_k}$ avec des $c_k\in \mathbb{C}$.

Le regroupement. $\overline{{\omega }_k}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(2\pi -{\theta }_k)}$ et $2\pi -{\theta }_k=\frac{(2(p-1-k)+1)\pi }{p}={\theta }_{p-1-k}$, donc $\overline{{\omega }_k}={\omega }_{p-1-k}$. Posons $m=\lfloor p/2\rfloor$. Pour $0\le k\le m-1$, $0<{\theta }_k\le \frac{(2m-1)\pi }{p}<\pi$, donc ${\omega }_k\notin \mathbb{R}$, et $p-1-k$ décrit $[[p-m,p-1]]$.