Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II PC — Partie 3 (Q17 à Q22) : Probabilité qu'une formule s'applique : dénombrements et série harmonique

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths II PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On fixe $n \in N^{*}$ et l'on tire successivement, avec remise, deux entiers $p$ puis $q$ selon la loi uniforme sur $[[1, n]]$ . Avec les ensembles $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ de la partie 2, on note $E_{n}$ l'événement « $(p, q) \in E_{1} \cup E_{2} \cup E_{3}$ », $A_{n}$ : « $p = q$ », $B_{n}$ : « $q > p$ et $p$ divise $q$ », $C_{n}$ : « $p > q$ ». On note $H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ .

Q17. Justifier que ${A_{n}, B_{n}, C_{n}}$ est une partition de $E_{n}$ .
Q18. Calculer $P (A_{n})$ puis $P (C_{n})$ .
Q19. Montrer que $P (B_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} \sum_{p = 1}^{n} ⌊ \frac{n}{p} ⌋ - \frac{1}{n}$ , puis en déduire $P (A_{n} \cup B_{n})$ .
Q20. Montrer que $H_{n} \sim ln n$ quand $n \to + \infty$ .
Q21. Montrer que $P (A_{n} \cup B_{n}) \sim \frac{l n n}{n}$ .
Q22. En déduire $lim_{n \to + \infty} P (E_{n})$ .

Corrigé

Le modèle. On prend $Ω = [[1, n]]^{2}$ , le résultat $(p, q)$ des deux tirages. Les tirages se font avec remise, donc sont indépendants, et chacun suit la loi uniforme sur $[[1, n]]$ : pour tout $(i, j) \in Ω$ , $P (p = i, q = j) = P (p = i) P (q = j) = \frac{1}{n ^{2}}$ . Le couple $(p, q)$ suit donc la loi uniforme sur $Ω$ , de cardinal $n^{2}$ , et $P (D) = \frac{card D}{n ^{2}}$ pour toute partie $D$ de $Ω$ .

Q17. En identifiant chaque événement à la partie de $Ω$ qu'il décrit : $A_{n} = E_{1} \cap Ω$ , $B_{n} = E_{2} \cap Ω$ (la condition « $p < q$ et $p ∣ q$ » est exactement « $q > p$ et $q$ divisible par $p$ ») et $C_{n} = E_{3} \cap Ω$ .

Réunion : $E_{n} = (E_{1} \cup E_{2} \cup E_{3}) \cap Ω = (E_{1} \cap Ω) \cup (E_{2} \cap Ω) \cup (E_{3} \cap Ω) = A_{n} \cup B_{n} \cup C_{n}$ .
Disjonction deux à deux : sur $A_{n} \cap B_{n}$ on aurait $p = q$ et $q > p$ ; sur $A_{n} \cap C_{n}$ , $p = q$ et $p > q$ ; sur $B_{n} \cap C_{n}$ , $q > p$ et $p > q$ : trois impossibilités. Les trois intersections sont vides.

Donc ${A_{n}, B_{n}, C_{n}}$ est une partition de $E_{n}$ . (Pour $n \geq 2$ , les trois parties sont non vides : $(1, 1) \in A_{n}$ , $(1, 2) \in B_{n}$ , $(2, 1) \in C_{n}$ . Pour $n = 1$ , $B_{1} = C_{1} = \emptyset$ et la « partition » est à entendre au sens d'un système d'événements deux à deux incompatibles de réunion $E_{n}$ (ici $E_{n} = A_{n} = {(1, 1)}$ ) ; c'est ce sens, le seul utile pour l'additivité de $P$ en Q19 et Q22, que l'on retient.)

Ce que le correcteur attend : les deux arguments, réunion et intersections deux à deux vides.

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