Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II PC — Partie 4 (Q23 à Q24) : Vitesse de convergence : reste équivalent à 1/(2pn), convergence infra-linéaire

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths II PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Si $(u_{n})$ converge vers $l$ avec $u_{n} \neq = l$ à partir d'un certain rang, sa vitesse de convergence est $V = lim_{n \to + \infty} \frac{u _{n + 1} - l}{u _{n} - l}$ , sous réserve d'existence ; la convergence est dite supra-linéaire si $V = 0$ , linéaire si $V \in] 0, 1 [$ , infra-linéaire si $V = 1$ . La vitesse d'une série est celle de ses sommes partielles. Pour $(p, q) \in (N^{*})^{2}$ , on pose $R_{p, q} = \frac{1}{q} I_{p, q}$ , où $I_{p, q} (t) = \int_{0}^{1} \frac{x ^{(t + 1) α}}{1 + x ^{α}} d x$ et $α = \frac{p}{q}$ (partie 1).

Q23. À l'aide du changement de variable $s = x^{n + 1}$ dans $I_{p, q} (n)$ , démontrer que $R_{p, q} (n) \sim \frac{1}{2 p n}$ quand $n \to + \infty$ .
Q24. En déduire la vitesse de convergence de la série $\sum u_{k}$ , c'est-à-dire de la suite $(ϕ_{p, q} (n))_{n \in N}$ .

Corrigé

On fixe $(p, q) \in (N^{*})^{2}$ et l'on note $α = \frac{p}{q} > 0$ , $I = I_{p, q}$ , $R = R_{p, q}$ .

Q23. Le changement de variable. Soit $n \in N^{*}$ . L'intégrande $x \mapsto \frac{x ^{(n + 1) α}}{1 + x ^{α}}$ est continue sur $[0, 1]$ ; on regarde $I (n)$ comme une intégrale sur $] 0, 1]$ (la valeur en un point ne compte pas), donc convergente. On pose $x = φ (s) = s^{1/ (n + 1)}$ : $φ$ est une bijection de $] 0, 1]$ sur $] 0, 1]$ , de classe $C^{1}$ et strictement croissante, avec $φ^{'} (s) = \frac{1}{n + 1} s^{\frac{1}{n + 1} - 1}$ . (Elle n'est pas de classe $C^{1}$ en $0$ : c'est pourquoi on utilise le théorème de changement de variable pour les intégrales généralisées, et non la formule sur un segment.) Comme $φ (s)^{(n + 1) α} = s^{α}$ et $φ (s)^{α} = s^{α / (n + 1)}$ , ce théorème assure que l'intégrale transformée converge et que

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