Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II PC — Préliminaires (Q1 à Q4) : Séries congruo-harmoniques : convergence, somme ln 2 et réindiçage

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths II PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $(p, q) \in (N^{*})^{2}$ , la série congruo-harmonique de paramètres $p$ et $q$ a pour terme général $u_{k} = u_{p, q; k} = \frac{( - 1 ) ^{k}}{p k + q}$ ( $k \geq 0$ ) ; on note $S_{p, q}$ sa somme et $ϕ_{p, q} (n) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{( - 1 ) ^{k}}{p k + q}$ ses sommes partielles ( $n \in N$ ).

Q1. Justifier que $\sum u_{k}$ converge pour tout $(p, q) \in (N^{*})^{2}$ .
Q2. Pour $p = q = 1$ , montrer que $ϕ_{1, 1} (n) = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t} - \int_{0}^{1} \frac{( - t ) ^{n + 1}}{1 + t} d t$ .
Q3. En déduire $S_{1, 1}$ .
Q4. Montrer que $S_{1, q} = (- 1)^{q} (ϕ_{1, 1} (q - 2) - ln 2)$ pour tout $q \geq 2$ .

Corrigé

Q1. Fixons $(p, q) \in (N^{*})^{2}$ et posons $a_{k} = \frac{1}{p k + q}$ , de sorte que $u_{k} = (- 1)^{k} a_{k}$ . On vérifie les trois hypothèses du théorème spécial des séries alternées :

$a_{k} > 0$ pour tout $k \in N$ , car $p k + q \geq q \geq 1$ ;
la suite $(a_{k})$ est décroissante : $p \geq 1 > 0$ , donc $k \mapsto p k + q$ est strictement croissante et à valeurs strictement positives, et son inverse décroît ;
$a_{k} \to 0$ , car $p k + q \to + \infty$ (encore parce que $p > 0$ ).

Le théorème spécial des séries alternées assure alors que $\sum u_{k}$ converge ; sa somme $S_{p, q}$ est bien définie. (La série ne converge pas absolument : $∣ u_{k} ∣ \sim \frac{1}{p k}$ , terme d'une série de Riemann divergente, donc on ne peut pas conclure par comparaison.)

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