Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II PSI — Partie I (Q1 à Q3) : Linéarisation de l'équation y' + y + 1 = eʸ/2

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths II PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On étudie sur $R_{+}$ l'équation non linéaire $(E)$ : $y^{'} (x) + y (x) + 1 = \frac{1}{2} e^{y (x)}$ . On admet que le problème de Cauchy $(C)$ , formé de $(E)$ et de $y (0) = 0$ , a une unique solution $y \in C^{\infty} (R_{+}, R)$ . Linéarisant $e^{y} \approx 1 + y$ , on considère l'équation $(E_{ℓ})$ : $u^{'} (x) + u (x) + 1 = \frac{1}{2} (1 + u (x))$ et le problème $(C_{ℓ})$ : $(E_{ℓ})$ avec $u (0) = 0$ .

Q1. Justifier que $(C_{ℓ})$ a une unique solution $u$ , l'expliciter et dresser son tableau de variation.
Q2. Montrer que $(E_{ℓ})$ a une unique solution constante $γ$ et que $u (x) \to γ$ en $+ \infty$ .
On admet désormais que $y$ est décroissante sur $R_{+}$ et que $y (x) \to c \in R$ quand $x \to + \infty$ .
Q3. Montrer que $c$ est une solution constante de $(E)$ , que $(E)$ a exactement deux solutions constantes $c_{1} < 0 < c_{2}$ , et en déduire $c$ .

Corrigé

Q1. Forme résolue. Pour $u$ dérivable sur $R_{+}$ , $(E_{ℓ})$ équivaut à

$u^{'} (x) = a u (x) + b avec a = - \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2},$

puisque $u^{'} + u + 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} u = u^{'} + \frac{1}{2} u + \frac{1}{2}$ . C'est une équation de la forme $u^{'} = a (x) u + b (x)$ avec $a$ et $b$ (constantes) continues sur l'intervalle $R_{+}$ : le théorème de Cauchy linéaire donne déjà l'existence et l'unicité de la solution de $(C_{ℓ})$ . Le calcul direct redonne tout, avec l'expression.

Résolution. Soit $u$ dérivable sur $R_{+}$ . Pour tout $x ⩾ 0$ ,

$(e^{x /2} (u (x) + 1))^{'} = e^{x /2} (u^{'} (x) + \frac{1}{2} u (x) + \frac{1}{2}) .$

Comme $e^{x /2} \neq = 0$ , $u$ est solution de $(E_{ℓ})$ sur $R_{+}$ si et seulement si la fonction $x \mapsto e^{x /2} (u (x) + 1)$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $R_{+}$ , c'est-à-dire si et seulement si elle est constante : il existe $C \in R$ tel que, pour tout $x \in R_{+}$ , $u (x) = C e^{- x /2} - 1$ . La condition $u (0) = 0$ s'écrit $C - 1 = 0$ . Ainsi $(C_{ℓ})$ admet une solution et une seule :

$\forall x \in R_{+}, u (x) = e^{- x /2} - 1.$

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