Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II PSI — Partie II (Q4 à Q8) : Séries de Dirichlet : convergence, régularité, unicité des coefficients

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths II PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une série de fonctions $\sum_{n ⩾ 0} f_{n}$ est de Dirichlet si $f_{n} (x) = a_{n} e^{- λ_{n} x}$ pour $x \in R_{+}$ , où $∣ a_{n} ∣ ⩽ M / 2^{n}$ pour tout $n$ (avec $M > 0$ fixé) et où $(λ_{n})$ est strictement croissante, $λ_{0} = 0$ , $λ_{n} \to + \infty$ et $λ_{n} = O (n)$ . On pose $b_{k} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} λ_{n}^{k} a_{n}$ pour $k \in N$ . Pour $f$ bornée sur $J$ , $∥ f ∥_{\infty, J} = sup_{J} ∣ f ∣$ .

Q4. Montrer que les $b_{k}$ sont bien définis.
Q5. Montrer qu'une série de Dirichlet converge uniformément sur $R_{+}$ ; sa somme $f$ est continue sur $R_{+}$ .
Q6. Exprimer $f (0)$ et $lim_{+ \infty} f$ en fonction de $a_{0}$ et $b_{0}$ .
Q7. Pour $k \in N^{*}$ , montrer que $f \in C^{k} (R_{+}, R)$ , exprimer $f^{(k)}$ , puis $f^{(k)} (0)$ en fonction de $b_{k}$ .
Q8. Montrer que si $f$ est nulle sur $R_{+}$ , alors tous les $a_{n}$ sont nuls.

Corrigé

Deux remarques préalables. (a) $(λ_{n})$ est strictement croissante et $λ_{0} = 0$ , donc $λ_{n} > 0$ pour $n ⩾ 1$ , et $λ_{n} > λ_{p}$ dès que $n > p$ . (b) $λ_{n} = O (n)$ : il existe $C_{0} ⩾ 0$ et $n_{0} ⩾ 1$ tels que $λ_{n} ⩽ C_{0} n$ pour $n ⩾ n_{0}$ ; avec $C = max (C_{0}, λ_{1}, λ_{2} /2, \dots, λ_{n_{0}} / n_{0})$ , on a

$\forall n ⩾ 1, 0 < λ_{n} ⩽ C n .$

Q4. Soit $k \in N$ . Pour $n ⩾ 1$ , d'après (b),

$λ_{n}^{k} a_{n} ⩽ C^{k} n^{k} \frac{M}{2 ^{n}} = M C^{k} \frac{n ^{k}}{2 ^{n}} .$

Par croissances comparées, $n^{2} \cdot \frac{n ^{k}}{2 ^{n}} = \frac{n ^{k + 2}}{2 ^{n}} = exp ((k + 2) ln n - n ln 2) \to 0$ , donc $\frac{n ^{k}}{2 ^{n}} = o (\frac{1}{n ^{2}})$ . La série de Riemann $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ converge (exposant $2 > 1$ ) ; par le théorème de comparaison des séries à termes positifs, $\sum n^{k} 2^{- n}$ converge, donc $\sum_{n ⩾ 1} ∣ λ_{n}^{k} a_{n} ∣$ converge. La série $\sum λ_{n}^{k} a_{n}$ est absolument convergente, donc convergente : $b_{k}$ est bien défini (et $\sum_{n ⩾ 1} λ_{n}^{k} ∣ a_{n} ∣ < + \infty$ , ce qui resservira).

Q5. Soit $n \in N$ . Pour $x \in R_{+}$ , $λ_{n} x ⩾ 0$ donc $0 < e^{- λ_{n} x} ⩽ 1$ et

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