Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II PSI — Partie III (Q9 à Q12) : Relations de récurrence sur les coefficients de la série de Dirichlet

On suppose que la solution $y$ de $(C)$ (équation $(E)$ : $y^{\prime }+y+1=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^y$, et $y(0)=0$) est la somme d'une série de Dirichlet : $y(x)={\sum }_{n=0}^{+\infty }{a}_n{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{n}x}$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$, avec les hypothèses de la partie II, et $b_k={\sum }_{n⩾1}{\lambda }_n^k{a}_n$. On pose $g={\mathrm{e}}^y$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$ ; $c$ est la limite de $y$ en $+\infty$ (partie I).

Q9. Exprimer $a_0$ et $b_0$ en fonction de $c$.
Q10. À l'aide de $(E)$, calculer $b_1$.
Q11. Montrer que $g^{(k)}(0)=(-1{)}^k{d}_k$ pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, où $d_0=1$ et $d_k={\sum }_{i=1}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i-1}\right)d_{k-i}{b}_i$ pour $k⩾1$.
Q12. Pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, à l'aide de $(E)$, trouver une relation de récurrence entre $b_{k+1}$, $b_k$ et $d_k$.