Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II PSI — Partie IV (Q13 à Q15) : Troncature de la série et système de Vandermonde

Soit $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Avec les notations de la partie III ($y={\sum }_{n⩾0}{a}_n{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{n}x}$, $|a_n|⩽M/2^n$), on pose ${\beta }_k={\sum }_{n=1}^N{\lambda }_n^k{a}_n$ pour $k\in \mathbb{N}$ et $y_N(x)={\sum }_{n=0}^N{a}_n{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{n}x}$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$. On note $A\in {\mathbb{R}}^N$ le vecteur colonne des $a_1,\dots ,a_N$ et $B\in {\mathbb{R}}^N$ celui des ${\beta }_0,\dots ,{\beta }_{N-1}$.

Q13. Montrer que $\Vert y_N-y{\Vert }_{\infty ,{\mathbb{R}}_{+}}⩽M/2^N$ ; en déduire que $y_N$ converge uniformément vers $y$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$. Proposer un intervalle $J\subset {\mathbb{R}}_{+}$ sur lequel la majoration de $\Vert y_N-y{\Vert }_{\infty ,J}$ est plus fine.
Q14. Montrer que $VA=B$ pour une matrice $V\in {\mathcal{M}}_N(\mathbb{R})$ à expliciter.
Q15. Prouver que le système $VA=B$ a une unique solution $A\in {\mathbb{R}}^N$.