Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II PSI — Partie V (Q16 à Q20) : Modèle SIR et approximation de la proportion de susceptibles

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths II PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Les proportions $S$ , $I$ , $R$ de susceptibles, infectés et rétablis sont des fonctions de $C^{\infty} (R_{+}, R)$ solutions du problème de Cauchy $(F)$ : $S^{'} = - I S$ , $I^{'} = I S - I$ , $R^{'} = I$ , avec $S (0) = S_{0}$ , $I (0) = I_{0}$ , $R (0) = R_{0}$ dans $[0, 1]$ . On admet (théorème 1) que $(F)$ a une unique solution, et que deux solutions de conditions initiales distinctes ne prennent jamais la même valeur au même instant.

Q16. Si $S_{0} = 0$ , donner la solution $(S, I, R)$ de $(F)$ .
Q17. Si $S_{0} > 0$ , montrer que $S$ ne s'annule pas, puis que $S > 0$ .
Q18. Si $S_{0} > 0$ , montrer que $(- S^{'} / S)^{'} = - S^{'} + S^{'} / S$ .
Désormais $S_{0} = I_{0} = \frac{1}{2}$ , $R_{0} = 0$ , et $h = ln (S / S_{0}) = ln (2 S)$ sur $R_{+}$ .
Q19. Montrer que $h$ est solution de $(C)$ .
Q20. Avec $S_{N} = S_{0} e^{y_{N}}$ ( $y_{N}$ de la partie IV), montrer que $S_{N}$ converge uniformément vers $S$ sur $R_{+}$ et que $∥ S_{N} - S ∥_{\infty, R_{+}} ⩽ M e^{2 M} / 2^{N + 1}$ .

Corrigé

Q16. Synthèse. Posons, pour $x \in R_{+}$ ,

$S (x) = 0, I (x) = I_{0} e^{- x}, R (x) = R_{0} + I_{0} (1 - e^{- x}) .$

Ces fonctions sont de classe $C^{\infty}$ sur $R_{+}$ , et : $S^{'} = 0 = - I \cdot 0 = - I S$ ; $I^{'} (x) = - I_{0} e^{- x} = I (x) \cdot 0 - I (x) = I (x) S (x) - I (x)$ ; $R^{'} (x) = I_{0} e^{- x} = I (x)$ ; enfin $S (0) = 0 = S_{0}$ , $I (0) = I_{0}$ , $R (0) = R_{0} + 0 = R_{0}$ . Ce triplet est donc solution de $(F)$ .

Unicité. D'après le théorème 1, $(F)$ a une unique solution : c'est ce triplet. (On peut aussi raisonner par analyse : si $S \equiv 0$ , la deuxième équation devient $I^{'} = - I$ , d'où $I = I_{0} e^{- x}$ , puis $R$ par intégration ; mais il faut alors invoquer le théorème 1 pour savoir que $S$ est bien identiquement nulle, une intuition de modélisation ne suffisant pas.)

Q17. Supposons $S_{0} > 0$ . La fonction $I$ est continue sur $R_{+}$ ; notons $Φ (x) = \int_{0}^{x} I (t) d t$ , primitive de $I$ nulle en $0$ . Pour $x \in R_{+}$ , avec la première équation de $(F)$ ,

$(S (x) e^{Φ (x)})^{'} = (S^{'} (x) + I (x) S (x)) e^{Φ (x)} = 0.$

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