Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II PSI — Partie VI (Q21 à Q26) : Modèle probabiliste d'épidémie : espérances conditionnelles

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths II PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une population de $M ⩾ 1$ individus ; $K \in [[0, M]]$ est fixé ; $E = {(s, i, r) \in N^{3}, s + i + r = M}$ ; $(b a) = 0$ si $b > a$ ; pour une suite $(U_{n})$ , $Δ U_{n} = U_{n + 1} - U_{n}$ . Au matin du jour $n$ , $S ~_{n}$ , $I ~_{n}$ , $R ~_{n}$ sont les effectifs des susceptibles, infectés et rétablis ( $S ~_{0} > 0$ , $I ~_{0} ⩾ 1$ ). Si l'état est $(s, i, r) \in E$ : dans la journée, chaque susceptible rencontre, indépendamment des autres, $K$ personnes au hasard dans la population, et devient infecté le lendemain si l'une au moins est infectée ; chaque infecté guérit en fin de journée avec probabilité $ρ \in] 0, 1 [$ . On note $A_{s, i, r}$ l'événement $((S ~_{n}, I ~_{n}, R ~_{n}) = (s, i, r))$ .

Q21. Sachant $A_{s, i, r}$ , quelle est la probabilité $p (i)$ qu'un susceptible soit infecté ce jour-là ?
Q22. Pour $Z$ à valeurs dans $[[0, M]]$ , montrer la formule (1) : $E [Z] = \sum_{(s, i, r) \in E} (\sum_{k = 0}^{M} k P (Z = k ∣ A_{s, i, r})) P (A_{s, i, r})$ .
Q23. Justifier que $S ~_{n}, I ~_{n}, R ~_{n}, Δ S ~_{n}, Δ I ~_{n}, Δ R ~_{n}$ ont une espérance finie.
Q24. Établir $E [Δ R ~_{n}] = ρ E [I ~_{n}]$ .
Q25. Pour $(s, i, r) \in E$ et $k \in [[0, s]]$ , établir $P (Δ S ~_{n} = - k ∣ A_{s, i, r}) = (k s) p (i)^{k} (1 - p (i))^{s - k}$ .
Q26. Montrer que $E [Δ S ~_{n}] = - E [S ~_{n} p (I ~_{n})]$ , puis en déduire l'équation vérifiée par $E [Δ I ~_{n}]$ .

Corrigé

Conventions. Les effectifs vérifient $S ~_{n} + I ~_{n} + R ~_{n} = M$ pour tout $n$ (chaque individu est dans une et une seule classe), donc le triplet $(S ~_{n}, I ~_{n}, R ~_{n})$ prend ses valeurs dans l'ensemble fini $E$ et les événements $A_{s, i, r}$ , $(s, i, r) \in E$ , forment un système complet d'événements. Lorsque $P (A_{s, i, r}) = 0$ , la probabilité conditionnelle n'est pas définie et l'on convient, comme d'usage, que le produit $P (\cdot ∣ A_{s, i, r}) P (A_{s, i, r})$ vaut $0$ . Pour $P (A_{s, i, r}) > 0$ , on note $P_{s, i, r} = P (\cdot ∣ A_{s, i, r})$ : c'est une probabilité, sous laquelle on décrit la journée $n$ .

Q21. Fixons un susceptible $σ$ et supposons $P (A_{s, i, r}) > 0$ . « Rencontrer $K$ personnes au hasard parmi les $M$ personnes de la population » se modélise ainsi : l'ensemble des personnes rencontrées par $σ$ suit la loi uniforme sur les $(K M)$ parties à $K$ éléments de la population. $σ$ n'est pas infecté si et seulement si cette partie évite les $i$ infectés, c'est-à-dire est incluse dans l'ensemble des $M - i$ non-infectés : il y a $(K M - i)$ telles parties (nombre nul si $K > M - i$ , conformément à la convention rappelée). Par passage au complémentaire,

$p (i) = 1 - \frac{( K M - i )}{( K M )} .$

En particulier $p (0) = 0$ , et $p (i) = 1$ dès que $K > M - i$ (on ne peut alors pas éviter tous les infectés).

Lecture rigoureuse du modèle. Un individu ne se rencontre pas lui-même : les $K$ personnes rencontrées par $σ$ sont en toute rigueur à choisir parmi les $M - 1$ autres individus, dont les $i$ infectés. Pour $K ⩽ M - 1$ , le même raisonnement (partie uniforme parmi les $(K M - 1)$ parties à $K$ éléments des autres, dont $(K M - 1 - i)$ évitent les infectés) donne

$p (i) = 1 - \frac{( K M - 1 - i )}{( K M - 1 )};$

pour $K = M$ , $σ$ rencontre toute la population et $p (i) = 1$ dès que $i ⩾ 1$ ( $p (0) = 0$ ). Le rapport du jury indique que c'est cette lecture qui était attendue, tout en précisant qu'il n'a pas pénalisé la formule $1 - (K M - i) / (K M)$ obtenue à la lettre de l'énoncé. (Une lecture « $K$ rencontres indépendantes avec remise » donnerait $p (i) = 1 - (1 - i / M)^{K}$ ; elle n'est pas celle du sujet, qui parle de $K$ personnes distinctes.) La suite n'utilise que le fait que $p (i)$ ne dépend que de $i$ .

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