Corrigé Mines-Ponts 2025 Sciences industrielles PSI — Partie 4 (Q5 à Q11) : Fermeture géométrique, courses des actionneurs et effort de maintien par la statique

Modèle plan de la structure parallèle (figure 5) : les paires de rotules de la figure 4 sont remplacées par des pivots d'axes $(B,\overrightarrow{z})$ et $(C,\overrightarrow{z})$. Repère $(O,\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z})$ lié au bâti 1, base $({\overrightarrow{x}}_i,{\overrightarrow{y}}_i,\overrightarrow{z})$ liée au solide $i$. Paramètres imposés par les actionneurs : ${\lambda }_2(t)$ et ${\lambda }_4(t)$.

$$\overrightarrow{OC}={\lambda }_4\overrightarrow{x},\overrightarrow{OA}={\lambda }_2\overrightarrow{x}+e\overrightarrow{y},\overrightarrow{AB}=l_3{\overrightarrow{x}}_3,\overrightarrow{CB}=b{\overrightarrow{x}}_5+c{\overrightarrow{y}}_5,$$

$\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{x}=x_E$, $\alpha =(\overrightarrow{x},{\overrightarrow{x}}_3)$, $\theta =(\overrightarrow{x},{\overrightarrow{x}}_5)$, tous deux négatifs dans la position dessinée. On pose $\Delta \lambda ={\lambda }_4-{\lambda }_2$.

{ Figure 5 — Schéma cinématique simplifié de la structure parallèle.}

Mouvement 1 : $\theta$ constant et $x_E$ croissant. Mouvement 2 : $x_E$ constant et $\theta$ croissant.

Q5. Pour chaque mouvement, indiquer les déplacements nécessaires des actionneurs (cases du document réponse).
Q6. Par une fermeture géométrique, établir $\Delta {\lambda }^2+A_1(\theta )\Delta \lambda +B_1(\theta )=0$ et expliciter $A_1$, $B_1$.

{ Figure 6 — Loi entrée-sortie simulée : $\theta$ en fonction de $\Delta \lambda$.}

Exigence 1.2.3 « domaine atteignable » : $-90^{\circ }<\theta <0^{\circ }$ et $0<x_E<9\mathrm{cm}$. Catalogue (Annexe 3) :

Q7. Quel(s) actionneur(s) permet(tent) de couvrir à la fois la plage de $x_E$ et celle de $\theta$ ?

Statique (exigence 1.1 « maintenir en position ») : liaisons parfaites, repère du bâti galiléen, mécanisme à l'équilibre dans la position de la figure 5, problème plan dans $(O,\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$. Seul le poids de 5 (et de l'actionneur d'orientation qu'il porte) est pris en compte : glisseur $-P\overrightarrow{y}$ en $G_5$, $P>0$, $\overrightarrow{C{G}_5}=d{\overrightarrow{x}}_5+\frac{c}{2}{\overrightarrow{y}}_5$. Action de l'actionneur sur 2 : résultante $F\overrightarrow{x}$.

Q8. Montrer que la résultante ${\overrightarrow{R}}_{5\to 3}$ est portée par ${\overrightarrow{x}}_3$ ; on note ${\overrightarrow{R}}_{5\to 3}=X_{53}{\overrightarrow{x}}_3$.
Q9. Isoler 5 ; déterminer $X_{53}$ en fonction de $P$ et de la géométrie, en précisant l'équation scalaire utilisée.
Q10. Isoler $\{2+3\}$ et mettre $F$ sous la forme $F=P\frac{A_2\cos \theta +B_2\sin \theta }{c\cos (\theta -\alpha )+b\sin (\theta -\alpha )}\cos \alpha$.

{ Figure 7 — Effort $F$ simulé en fonction de $\Delta \lambda$.}

Q11. Quel(s) actionneur(s) de l'Annexe 3 fournit(ssent) l'effort nécessaire pour l'exigence 1.1 ?