Corrigé Mines-Ponts 2025 Sciences industrielles PSI — Parties 2 et 3 (Q1 à Q4) : Chaîne de puissance de l'axe θ, graphe des liaisons et hyperstatisme de la structure parallèle

Support commun à tout le sujet : le goniomètre SmarGon, robot à six degrés de liberté (trois translations $x$, $y$, $z$, trois rotations $\psi$, $\theta$, $\phi$) qui place et oriente un échantillon dans un faisceau de rayons X, avec une précision annoncée meilleure que $10^{-3}$ degré et 5 nm. Il associe une structure série et une structure parallèle ; chaque axe est mû par un actionneur linéaire piézo-électrique. Les six axes ayant la même organisation, on étudie la chaîne de puissance de la rotation $\theta$, décrite par le diagramme de blocs internes de l'Annexe 2 (figure A).

{ Figure A — Diagramme de blocs internes (Annexe 2, simplifié) : EE énergie électrique, EMT énergie mécanique de translation ; traits fins : liaisons d'information.}

Structure parallèle étudiée (figure 4) : deux actionneurs linéaires, logés dans deux glissières de direction $\overrightarrow{x}$ du bâti 1, règlent l'angle $\theta$ et l'abscisse $x_E$ du centre $E$ de l'échantillon. Solides : bâti 1, coulisseaux 2 et 4, biellette 3, porte-échantillon 5. Exigence 1.1.1 (Annexe 1) : « le système mécanique est suffisamment rigide », exigence dérivée de 1.1 « maintenir en position ».

{ Figure 4 — Modèle cinématique tridimensionnel de la structure terminale : glissières 1/2 et 1/4 de direction $\overrightarrow{x}$, pivot d'axe $(A,\overrightarrow{z})$ entre 2 et 3, rotules de centres $B_1$, $B_2$ entre 3 et 5 et $C_1$, $C_2$ entre 4 et 5, avec $\overrightarrow{B_1{B}_2}$ et $\overrightarrow{C_1{C}_2}$ colinéaires à $\overrightarrow{z}$.}

Q1. À l'aide de l'Annexe 2, compléter la chaîne de puissance de la rotation $\theta$.
Q2. Compléter le graphe des liaisons, avec les caractéristiques géométriques des liaisons.
Q3. Déterminer le degré d'hyperstatisme du modèle de la figure 4.
Q4. En quoi ce degré d'hyperstatisme contribue-t-il à l'exigence 1.1.1 ?