Corrigé Mines-Ponts 2025 Sciences industrielles PSI — Sous-partie 5.3 (Q16 à Q21) : Modèle électromécanique de l'actionneur piézo-électrique, schéma-blocs, fonction de transfert et stabilité

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Sciences industrielles PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

L'actionneur linéaire, pas à pas, exploite l'effet piézo-électrique inverse d'une céramique multicouche : un champ électrique la déforme, et cette déformation produit un petit déplacement, le pas. Modèle électromécanique (figure 8) : $u_{m} (t)$ est la tension de commande, $λ (t)$ le déplacement de l'actionneur (noté $λ_{2}$ ou $λ_{4}$ plus haut), $M_{e q}$ la masse équivalente de la chaîne de transmission ramenée sur l'actionneur. Le poids des pièces est négligé (actionneur horizontal), toutes les grandeurs sont nulles à l'instant initial.

{ Figure 8 — Modèle électromécanique de l'actionneur linéaire piézo-électrique (le cadre en tirets délimite la conversion électromécanique).}

Conversion électromécanique : $i_{M} (t) = k_{i} \frac{d λ}{d t} (t)$ et $F (t) = k_{i} e (t)$ , avec $k_{i} = 4 N \cdot V^{- 1}$ . Partie mécanique : $F$ est la force de l'actionneur sur $M_{e q}$ ; ressort et amortisseur (raideur $k$ et amortissement $η$ du corps piézo-électrique) exercent $F_{r} = - k λ$ et $F_{a} = - η \frac{d λ}{d t}$ . Exigence 1.2.4 : « la commande de déplacement doit être stable ».

Q16. Établir $u_{m} = a_{0} F + a_{1} \frac{d F}{d t} + a_{2} \frac{d λ}{d t}$ et exprimer $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ .
Q17. Schéma-blocs du document réponse : fonctions de transfert des blocs 1 et 2.
Q18. En indiquant le système isolé et le théorème utilisé, établir l'équation du mouvement de $M_{e q}$ reliant $λ$ à $F$ .
Q19. Fonctions de transfert des blocs 3, 4 et 5.
Q20. Déterminer $H (p) = Λ (p) / U_{m} (p)$ , dénominateur de coefficient constant égal à 1.
Q21. Valeurs des pôles $p_{i}$ (figure 9) ; conclure sur l'exigence 1.2.4.

{ Figure 9 — Pôles de $H (p)$ dans le plan complexe.}

Corrigé

Q16. Le symbole de chaque source porte une flèche qui oriente sa tension : le nœud commun au condensateur, à $R$ et à la conversion, noté $N$ , est au potentiel $e (t)$ par rapport à la masse ( $0 V$ ), et la borne commune à la source $u_{m}$ et à $R$ au potentiel $u_{m} (t)$ . Lois des circuits :

loi des nœuds en $N$ : $i_{R} = i_{C} + i_{M}$ ;
loi d'Ohm pour $R$ : $u_{m} - e = R i_{R}$ ;
condensateur, de tension $e$ : $i_{C} = C \frac{d e}{d t}$ .

D'où $u_{m} = e + R C \frac{d e}{d t} + R i_{M}$ . On remplace $e = F / k_{i}$ et $i_{M} = k_{i} \frac{d λ}{d t}$ :

$u_{m} (t) = \frac{1}{k _{i}} F (t) + \frac{R C}{k _{i}} \frac{d F}{d t} (t) + R k_{i} \frac{d λ}{d t} (t), a_{0} = \frac{1}{k _{i}}, a_{1} = \frac{R C}{k _{i}}, a_{2} = R k_{i} .$

Unités : $a_{0}$ en $V \cdot N^{- 1}$ , $a_{1}$ en $V \cdot s \cdot N^{- 1}$ ( $R C$ est un temps), $a_{2}$ en $Ω \cdot N \cdot V^{- 1} = N \cdot A^{- 1} = V \cdot s \cdot m^{- 1}$ , ce qui rend chaque terme homogène à une tension. Contrôle énergétique : la puissance reçue par la conversion, $e i_{M} = (F / k_{i}) (k_{i} λ ˙) = F λ ˙$ , est intégralement rendue sous forme mécanique.

Q17. Dans le domaine de Laplace (conditions initiales nulles) : $U_{m} (p) = (a_{0} + a_{1} p) F (p) + a_{2} p Λ (p)$ , soit

$F (p) = \frac{1}{a _{0} + a _{1} p} (U_{m} (p) - a_{2} p Λ (p)) = \frac{k _{i}}{1 + R C p} (U_{m} (p) - R k_{i} p Λ (p)) .$

Avec un comparateur qui reçoit $U_{m}$ et un retour prélevé sur la vitesse $p Λ (p)$ (schéma complet en Q19) :

$bloc 1 : \frac{k _{i}}{1 + R C p}, bloc 2 : R k_{i} .$

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