Corrigé Mines-Ponts 2025 Sciences industrielles PSI — Sous-parties 5.1 et 5.2 (Q12 à Q15) : Matrice d'inertie, énergie cinétique, linéarisation de la loi entrée-sortie et masse équivalente

Pour étudier la stabilité et la précision, l'actionneur piézo-électrique est modélisé (figure 8, sous-partie suivante) par une masse équivalente $M_{eq}$, celle de la chaîne de transmission ramenée sur l'actionneur, sollicitée par une raideur et un amortisseur. On détermine ici $M_{eq}$.

On reprend le schéma de la figure 5 (partie 4) en supposant le solide 4 fixe par rapport au bâti 1. Hypothèses : repère lié à 1 galiléen ; solide 3 de masse et d'inertie négligées ; solide 2 de masse $m_2$ (en translation de direction $\overrightarrow{x}$, paramètre ${\lambda }_2$) ; solide 5 (avec le positionneur d'angle qui lui est fixé) de masse $m_5$, de centre de gravité $G_5$ tel que $\overrightarrow{C{G}_5}=d{\overrightarrow{x}}_5+\frac{c}{2}{\overrightarrow{y}}_5$, et de matrice d'inertie

$$I(G_5,5)={\left(\begin{array}{ccc}{A}_5& -F_5& -E_5\\ -F_5& B_5& -D_5\\ -E_5& -D_5& C_5\end{array}\right)}_{({\overrightarrow{x}}_5,{\overrightarrow{y}}_5,\overrightarrow{z})}.$$

Le plan $(G_5,{\overrightarrow{x}}_5,{\overrightarrow{y}}_5)$ est plan de symétrie de 5. On rappelle $\theta =(\overrightarrow{x},{\overrightarrow{x}}_5)$ et $\Delta \lambda ={\lambda }_4-{\lambda }_2$ (figure 6).

{ Figure 6 — Loi entrée-sortie simulée (rappel de la partie 4).}

Q12. Compte tenu de la symétrie de 5, donner la forme simplifiée de sa matrice d'inertie.
Q13. Calculer l'énergie cinétique $E_{\mathrm{c}}(5/1)$ en fonction de $\dot{\theta }$ et des grandeurs géométriques et d'inertie de 5.
Q14. Linéariser la loi entrée-sortie (figure 6) autour de $\theta =0\mathrm{rad}$, sous la forme d'un gain $K_c$ ($\Delta \lambda \to \theta$) : tracés, valeur et unité de $K_c$.

Au voisinage de $\theta =0$, on retient $\theta (t)=K_c\Delta \lambda (t)$ ($\Delta \lambda$ compté à partir du point de fonctionnement).

Q15. Calculer l'énergie cinétique de $\Sigma =\{2,3,5\}$ dans son mouvement par rapport à 1 ; en déduire la masse équivalente $M_{eq}$ de $\Sigma$ rapportée au solide 2.