Corrigé Mines-Ponts 2025 Sciences industrielles PSI — Sous-parties 5.4 et 5.5 (Q22 à Q29) : Pôles et paramètres caractéristiques, valeur finale du pas, diagrammes de Bode et pilotage à la résonance

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Sciences industrielles PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Mode « scan » (positionnement fin, exigence 1.2.1 a) : le pas de déplacement de l'actionneur doit être inférieur ou égal à $3 μ m$ en réponse à un échelon de tension de $10 V$ . On applique $u_{m} (t) = U_{0} u (t)$ , $U_{0} = 10 V$ , $u$ échelon unitaire ; $k = 16 N \cdot μ m^{- 1}$ , $k_{i} = 4 N \cdot V^{- 1}$ . On reprend $H (p)$ et ses pôles $p_{i}$ (figure 9 de la sous-partie 5.3).

Q22. Montrer que $H (p) = \frac{H _{0}}{( 1 + τ p ) ( 1 + \frac{2 ξ}{ω _{0}} p + \frac{p ^{2}}{ω _{0}^{2}} )}$ et exprimer $τ$ , $ξ$ , $ω_{0}$ en fonction des pôles $p_{i}$ .
Q23. Discuter la possibilité de réduire l'ordre de $H (p)$ .
Q24. Expression littérale de la valeur finale $λ_{f in}$ du déplacement.
Q25. Conclure sur l'exigence 1.2.1 a.

Mode d'approche « stick-slip » (déplacement rapide, exigence 1.2.2 d : pour $ω > 10000 rad \cdot s^{- 1}$ , la sensibilité de déplacement doit être supérieure à $0, 3 μ m \cdot V^{- 1}$ ). Une avance lente de l'actionneur entraîne le coulisseau par adhérence (« stick ») ; un retrait rapide le fait glisser sous le coulisseau, qui reste en place (« slip »), figure 10. L'actionneur est piloté par une tension en dents de scie d'amplitude $U_{0} = 10 V$ et de pulsation $ω = 2 π / T$ (figure 11), à très haute fréquence ( $ω > 1 0^{4} rad \cdot s^{- 1}$ ) sans sortir de sa bande passante.

{ Figure 10 — Phénomène de « stick-slip » (tirets : position initiale).}

{ Figure 11 — Tension de pilotage en mode d'approche.}

Valeurs retenues pour la suite : $H_{0} = 0, 3 μ m \cdot V^{- 1}$ , $τ = 0, 3 ms$ , $ξ = 0, 08$ , $ω_{0} = 2 \times 1 0^{4} rad \cdot s^{- 1}$ .

Q26. Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode (gain et phase) de $H$ : valeurs asymptotiques, pentes, pulsations particulières.

{ Figure 12 — Diagramme de Bode du gain de $H$ (gain de $H$ exprimé en $μ m \cdot V^{- 1}$ ), pour $ω \in [1 0^{4}; 2, 2 \times 1 0^{4}] rad \cdot s^{- 1}$ .}

Q27. Pulsation de résonance $ω_{R}$ ; amplitude du déplacement $λ (t)$ en régime permanent à $ω_{R}$ (on donne $10 \approx 3$ ).
Q28. Par quel facteur le déplacement est-il multiplié en pilotant à $ω_{R}$ plutôt qu'à $1 0^{4} rad \cdot s^{- 1}$ ? (On donne $5100 \approx 2, 5$ .)
Q29. Conclure sur l'exigence 1.2.2 d.

Corrigé

Q22. D'après Q20, $H (p)$ est un troisième ordre de gain statique $H_{0} = k_{i} / k$ , sans zéro. La figure 9 montre un pôle réel $p_{1}$ et deux pôles complexes conjugués $p_{2, 3}$ : le dénominateur, de coefficient constant égal à 1, se factorise donc en un facteur du premier ordre et un facteur du second ordre à coefficients réels, ce qui est la forme demandée.

Facteur $1 + τ p$ : il s'annule en $p_{1} = - 1/ τ$ , d'où $τ = - \frac{1}{p _{1}}$ .
Facteur $1 + \frac{2 ξ}{ω _{0}} p + \frac{p ^{2}}{ω _{0}^{2}}$ , de discriminant négatif ( $ξ < 1$ ) : racines $p_{2, 3} = - ξ ω_{0} \pm j ω_{0} 1 - ξ^{2}$ . Leur produit vaut $ω_{0}^{2}$ et leur somme $- 2 ξ ω_{0}$ , d'où $ω_{0} = ∣ p_{2} ∣ = p_{2} p_{3}$ et $ξ = - \frac{p _{2} + p _{3}}{2 p _{2} p _{3}} = - \frac{Re ( p _{2} )}{∣ p _{2} ∣}$ .

$τ = - \frac{1}{p _{1}}, ω_{0} = Re (p_{2})^{2} + Im (p_{2})^{2}, ξ = \frac{- Re ( p _{2} )}{Re ( p _{2} ) ^{2} + Im ( p _{2} ) ^{2}}$

Application aux pôles de la figure 9 : $τ = 1/3500 \approx 0, 29 ms$ , $ω_{0} = 150 0^{2} + 200 0^{2} = 2500 rad \cdot s^{- 1}$ , $ξ = 1500/2500 = 0, 6$ . (Les valeurs « pour la suite » de la sous-partie 5.5, $ξ = 0, 08$ et $ω_{0} = 2 \times 1 0^{4} rad \cdot s^{- 1}$ , ne sont pas celles des pôles de la figure 9 ; seul $τ \approx 0, 3 ms$ concorde. On les utilise telles quelles à partir de Q26.)

Q23. On ne peut négliger un pôle devant d'autres que s'il est nettement plus rapide (dans l'usage, partie réelle au moins 5 à 10 fois plus grande en valeur absolue) : les pôles lents, dits dominants, imposent seuls la dynamique. Ici $∣ Re (p_{1}) ∣ / ∣ Re (p_{2}) ∣ = 3500/1500 \approx 2, 3$ : le pôle réel n'est pas assez rapide pour être négligé, et les pôles complexes, plus lents, ne peuvent l'être non plus. Aucune réduction d'ordre n'est justifiée : on conserve le troisième ordre. (Même conclusion avec les valeurs de 5.5 : $1/ τ \approx 3300 s^{- 1}$ contre $ξ ω_{0} = 1600 s^{- 1}$ , rapport voisin de 2.) Réduire l'ordre ne se fait pas par réflexe, et n'a rien à voir avec une correction.

Q24. Le système est stable (Q21) : le théorème de la valeur finale s'applique. Avec $U_{m} (p) = U_{0} / p$ :

$λ_{f in} = t \to \infty lim λ (t) = p \to 0 lim p H (p) \frac{U _{0}}{p} = H (0) U_{0} ⟹ λ_{f in} = H_{0} U_{0} = \frac{k _{i}}{k} U_{0} .$

Physiquement, en régime permanent, $F = k_{i} U_{0}$ (le condensateur n'est plus parcouru par aucun courant et $λ ˙ = 0$ , donc $e = u_{m}$ ) équilibre le ressort : $k λ_{f in} = k_{i} U_{0}$ .

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