Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths I MP-MPI — Partie I (Q1 à Q4) : Lemme fondamental du calcul variationnel : fonction plateau C∞

Q1. Régularité. Sur l'ouvert ${\mathbb{R}}_{+}^{\star }$, la fonction $x\mapsto -\frac{1}{x}$ est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas, donc de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ ; la fonction $\exp$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$. Par composition, $\phi :x\mapsto {\mathrm{e}}^{-1/x}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\star }$.

Forme des dérivées. Montrons par récurrence sur $n$ la propriété ${\mathcal{H}}_n$ : « il existe $P_n\in \mathbb{R}[X]$ tel que ${\phi }^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right){\mathrm{e}}^{-1/x}$ pour tout $x>0$ ».

• ${\mathcal{H}}_0$ : $P_0=1$ convient.
• Hérédité : supposons ${\mathcal{H}}_n$. Pour $x>0$, la fonction $x\mapsto P_n(1/x)$ est la composée de $x\mapsto 1/x$ (de dérivée $-1/x^2$) et de $P_n$ ; la dérivée d'une composée donne donc $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{P}_n\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}{P}_n^{\prime }\left(\frac{1}{x}\right)$ (et non $P_n^{\prime }(1/x)$). Avec $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\mathrm{e}}^{-1/x}=\frac{1}{x^2}{\mathrm{e}}^{-1/x}$ et la dérivée d'un produit :

$${\phi }^{(n+1)}(x)=(-\frac{1}{x^2}{P}_n^{\prime }(\frac{1}{x})+\frac{1}{x^2}{P}_n(\frac{1}{x}\left)\right){\mathrm{e}}^{-1/x}=P_{n+1}\left(\frac{1}{x}\right){\mathrm{e}}^{-1/x},$$

où $P_{n+1}=X^2(P_n-P_n^{\prime })$ est bien un polynôme. D'où ${\mathcal{H}}_{n+1}$.

Par exemple $P_1=X^2$ et $P_2=X^2(X^2-2X)=X^4-2X^3$, soit ${\phi }^{\prime \prime }(x)=(\frac{1}{x^4}-\frac{2}{x^3}){\mathrm{e}}^{-1/x}$.