Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths I MP-MPI — Partie II (Q5 à Q10) : Équation d'Euler-Lagrange et identité de Beltrami

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Maths I MP-MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$U, V$ ouverts non vides de $R$ , $x_{A} < x_{B}$ , $f : [x_{A}, x_{B}] \times U \times V \to R$ continue, de classe $C^{2}$ sur $] x_{A}, x_{B} [\times U \times V$ ; on note $f (x, y, z)$ . $C$ est l'ensemble des $y \in C^{2} ([x_{A}, x_{B}], R)$ avec $y (x_{A}) = y_{0}$ , $y (x_{B}) = y_{1}$ , $y (x) \in U$ et $y^{'} (x) \in V$ pour tout $x$ ; $T (y) = \int_{x_{A}}^{x_{B}} f (x, y (x), y^{'} (x)) d x$ . Un extremum local est pris pour $∥ \cdot ∥_{\infty}$ . On suppose que $T$ admet un extremum local en $z_{0} \in C$ ; $η \in C^{2} ([x_{A}, x_{B}], R)$ vérifie $η (x_{A}) = η (x_{B}) = 0$ , et $y_{ε} = z_{0} + ε η$ .

Q5. Justifier que $T (y)$ existe pour tout $y \in C$ .
Q6. Montrer qu'il existe $α > 0$ tel que $y_{ε} \in C$ pour $∣ ε ∣ < α$ (par l'absurde, avec Bolzano-Weierstrass).
Q7. Pour $ϕ (ε) = T (y_{ε})$ (notée $φ$ dans le sujet), montrer que $ϕ$ est $C^{1}$ sur $] - α, α [$ et que $ϕ^{'} (ε) = \int_{x_{A}}^{x_{B}} (η \frac{\partial f}{\partial y} + η^{'} \frac{\partial f}{\partial z}) (x, y_{ε} (x), y_{ε}^{'} (x)) d x$ .
Q8. Montrer que $\int_{x_{A}}^{x_{B}} (\frac{\partial f}{\partial y} (x, z_{0}, z_{0}^{'}) - \frac{d}{d x} \frac{\partial f}{\partial z} (x, z_{0}, z_{0}^{'})) η (x) d x = 0$ .
Q9. En déduire l'équation d'Euler-Lagrange : $\frac{\partial f}{\partial y} (x, z_{0}, z_{0}^{'}) - \frac{d}{d x} (\frac{\partial f}{\partial z} (x, z_{0}, z_{0}^{'})) = 0$ pour tout $x$ .
Q10. Si $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ sur $] x_{A}, x_{B} [\times U \times V$ , montrer l'identité de Beltrami : $f (x, z_{0}, z_{0}^{'}) - z_{0}^{'} \frac{\partial f}{\partial z} (x, z_{0}, z_{0}^{'})$ est constante sur $] x_{A}, x_{B} [$ .

Corrigé

Notations. Le problème appelle $y_{0}, y_{1}$ les valeurs imposées aux extrémités ; nous écrivons $\partial_{y} f = \frac{\partial f}{\partial y}$ , $\partial_{z} f = \frac{\partial f}{\partial z}$ , et, pour $y \in C$ , $γ_{y} (x) = (x, y (x), y^{'} (x))$ .

Une hypothèse à préciser. L'énoncé ne donne la classe $C^{2}$ de $f$ que sur l'ouvert $] x_{A}, x_{B} [\times U \times V$ : rien n'empêche alors $\partial_{y} f$ ou $\partial_{z} f$ d'exploser quand $x \to x_{A}$ ou $x \to x_{B}$ , et la domination de Q7 ne peut plus être établie (le rapport du jury note que les hypothèses de l'énoncé étaient « légèrement insuffisantes » pour cette domination). Nous supposons donc désormais :

(H) $f$ est la restriction d'une fonction de classe $C^{2}$ sur $W \times U \times V$ , où $W$ est un intervalle ouvert contenant $[x_{A}, x_{B}]$ .

Dans les trois applications (parties III, IV, V), $f$ ne dépend pas de $x$ et est de classe $C^{\infty}$ sur $R \times U \times V$ : (H) y est vérifiée. Une version sans (H), qui donne l'équation sur l'ouvert $] x_{A}, x_{B} [$ , est donnée après Q9.

Q5. Soit $y \in C$ . L'application $γ_{y} : x \mapsto (x, y (x), y^{'} (x))$ est continue sur $[x_{A}, x_{B}]$ ( $y$ est de classe $C^{2}$ , donc $y$ et $y^{'}$ sont continues) et, par définition de $C$ , à valeurs dans $[x_{A}, x_{B}] \times U \times V$ , où $f$ est continue. La composée $x \mapsto f (x, y (x), y^{'} (x))$ est donc continue sur le segment $[x_{A}, x_{B}]$ , donc intégrable sur ce segment : $T (y)$ existe.

Q6. Pour tout $ε \in R$ , $y_{ε} = z_{0} + ε η$ est de classe $C^{2}$ , et $y_{ε} (x_{A}) = z_{0} (x_{A}) + ε η (x_{A}) = y_{0}$ , $y_{ε} (x_{B}) = y_{1}$ . Il reste à trouver $α$ tel que, pour $∣ ε ∣ < α$ , $y_{ε} (x) \in U$ et $y_{ε}^{'} (x) \in V$ pour tout $x$ .

Par l'absurde, supposons que pour tout $α > 0$ , il existe $ε \in] - α, α [$ avec $y_{ε} \in / C$ . Avec $α = \frac{1}{n}$ ( $n \geq 1$ ), on obtient $ε_{n}$ avec $∣ ε_{n} ∣ < \frac{1}{n}$ et $x_{n} \in [x_{A}, x_{B}]$ tels que

$u_{n} = z_{0} (x_{n}) + ε_{n} η (x_{n}) \in / U ou v_{n} = z_{0}^{'} (x_{n}) + ε_{n} η^{'} (x_{n}) \in / V .$

La suite $(x_{n})$ est à valeurs dans le segment $[x_{A}, x_{B}]$ , compact : par le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une suite extraite $(x_{σ (n)})$ convergeant vers un $ℓ \in [x_{A}, x_{B}]$ . Les fonctions $η, η^{'}$ sont continues sur le segment, donc bornées : $∣ ε_{n} η (x_{n}) ∣ \leq \frac{∥ η ∥ _{\infty}}{n} \to 0$ et de même $ε_{n} η^{'} (x_{n}) \to 0$ . Par continuité de $z_{0}$ et de $z_{0}^{'}$ en $ℓ$ :

$u_{σ (n)} \to z_{0} (ℓ) \in U, v_{σ (n)} \to z_{0}^{'} (ℓ) \in V (z_{0} \in C) .$

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