Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths I MP-MPI — Partie III (Q11) : Le plus court chemin est la ligne droite

Q11. Mise en place du cadre de la partie II. Posons $U=V=\mathbb{R}$ (ouverts non vides) et

$$f:(x,y,z)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}⟼\sqrt{1+z^2}.$$

Comme $1+z^2>0$ et que la racine carrée est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $]0,+\infty [$, $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur ${\mathbb{R}}^3$ ; sa restriction à $[x_A,x_B]\times U\times V$ est donc continue, de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $]x_A,x_B[\times U\times V$, et l'hypothèse (H) de la partie II est satisfaite (avec $W=\mathbb{R}$). Avec les valeurs aux bornes $y_A,y_B$ (appelées $y_0,y_1$ en partie II), l'ensemble $\mathcal{C}$ de la partie II est exactement celui de la partie III, puisque les contraintes $y(x)\in U$, $y^{\prime }(x)\in V$ sont vides. Enfin, un extremum (global) de $T$ en $y_0$ est a fortiori un extremum local (toute valeur de $r>0$ convient).