Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths I MP-MPI — Partie IV (Q12 à Q15) : Brachistochrone : la cycloïde

Q12. La fonction $f$. Posons $U=]0,+\infty [$, $V=\mathbb{R}$ et $f(x,y,z)=\sqrt{\frac{1+z^2}{y}}=(1+z^2{)}^{1/2}{y}^{-1/2}$ sur $\mathbb{R}\times U\times V$. Elle y est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ (produit de composées de fonctions ${\mathcal{C}}^{\infty }$, avec $1+z^2>0$ et $y>0$), ne dépend pas de $x$, et

$$\frac{\partial f}{\partial x}=0,\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\frac{z}{\sqrt{1+z^2}\sqrt{y}}.$$

Pourquoi la version locale. L'ensemble $\mathcal{C}$ impose $y^{\prime }<0$ sur $]x_A,x_B]$, ce qui n'est pas une contrainte du type « $y^{\prime }(x)\in V$ pour tout $x\in [x_A,x_B]$ » avec $V$ ouvert : si $y_0^{\prime }(x_A)=0$, une perturbation $y_0+\epsilon \eta$ avec ${\eta }^{\prime }(x_A)\ne 0$ peut sortir de $\mathcal{C}$ pour tout $\epsilon \ne 0$ d'un certain signe. (Si $y_0^{\prime }(x_A)<0$, on peut prendre $V=]-\infty ,0[$ : $y_0$ appartient alors à l'ensemble ${\mathcal{C}}_{\mathrm{II}}\subset \mathcal{C}$ de la partie II, y minimise $T$, et Q10 s'applique directement, comme en Q11.) Pour couvrir le cas $y_0^{\prime }(x_A)=0$ sans distinguer, on utilise la version de Q9 qui n'emploie que des perturbations à support dans $]x_A,x_B[$.

Les perturbations restent dans $\mathcal{C}$. Soient $[c,d]\subset ]x_A,x_B[$ et $\eta ={\psi }_{c,d}$ restreinte à $[x_A,x_B]$ (Q3) : $\eta$ est ${\mathcal{C}}^{\infty }$, et $\eta ,{\eta }^{\prime }$ sont nulles sur $[x_A,c]\cup [d,x_B]$ (car ${\psi }_{c,d}$ est nulle sur $]-\infty ,c]$ et sur $[d,+\infty [$). Par le théorème des bornes atteintes, $m={\min }_{[x_A,x_B]}{y}_0>0$ et $m^{\prime }=-{\max }_{[c,d]}{y}_0^{\prime }>0$ (car $y_0^{\prime }<0$ sur le segment $[c,d]\subset ]x_A,x_B]$). Pour $|\epsilon |<\alpha =\min (\frac{m}{1+\Vert \eta {\Vert }_{\infty }},\frac{m^{\prime }}{1+\Vert {\eta }^{\prime }{\Vert }_{\infty }})$, la fonction $y_{\epsilon }=y_0+\epsilon \eta$ est ${\mathcal{C}}^2$, a les bonnes valeurs aux bornes, vérifie $y_{\epsilon }\ge m-|\epsilon |\Vert \eta {\Vert }_{\infty }>0$, et $y_{\epsilon }^{\prime }=y_0^{\prime }<0$ hors de $[c,d]$, $y_{\epsilon }^{\prime }\le -m^{\prime }+|\epsilon |\Vert {\eta }^{\prime }{\Vert }_{\infty }<0$ sur $[c,d]$ : $y_{\epsilon }\in \mathcal{C}$. Donc $\varphi (\epsilon )=T(y_{\epsilon })\ge T(y_0)=\varphi (0)$ : $\varphi$ a un minimum en $0$, point intérieur de $]-\alpha ,\alpha [$.