Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths I MP-MPI — Partie V (Q16 à Q18) : La caténoïde, surface d'aire minimale

Q16. Le cadre de la partie II. Posons $U=V=\mathbb{R}$ et $f(x,y,z)=2\pi y\sqrt{1+z^2}$ sur ${\mathbb{R}}^3$ : $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ (produit de $y$ et d'une composée de fonctions ${\mathcal{C}}^{\infty }$, $1+z^2>0$), elle ne dépend pas de $x$, et l'hypothèse (H) de la partie II est vérifiée avec $[x_A,x_B]=[0,1]$ et des valeurs aux bornes égales à $1$. L'ensemble $\mathcal{C}$ est celui de la partie II (les contraintes $y\in U$, $y^{\prime }\in V$ sont vides), et un minimum global de $T$ en $y_0$ est un extremum local. On a

$$\frac{\partial f}{\partial x}=0,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=2\pi \sqrt{1+z^2},\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\frac{2\pi yz}{\sqrt{1+z^2}}.$$

Beltrami. Par Q10, il existe une constante $C_0$ telle que, pour $x\in ]0,1[$,

$$2\pi y_0\sqrt{1+y_0^{\prime 2}}-y_0^{\prime }\cdot \frac{2\pi y_0{y}_0^{\prime }}{\sqrt{1+y_0^{\prime 2}}}=\frac{2\pi y_0(1+y_0^{\prime 2}-y_0^{\prime 2})}{\sqrt{1+y_0^{\prime 2}}}=\frac{2\pi y_0(x)}{\sqrt{1+y_0^{\prime }(x{)}^2}}=C_0.$$

Posons $K=\frac{C_0}{2\pi }$ : $y_0(x)=K\sqrt{1+y_0^{\prime }(x{)}^2}$ sur $]0,1[$, puis sur $[0,1]$ par continuité de $y_0$ et $y_0^{\prime }$. Non-nullité : en $x=0$, $K=\frac{y_0(0)}{\sqrt{1+y_0^{\prime }(0{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+y_0^{\prime }(0{)}^2}}>0$. En élevant au carré et en divisant par $K^2\ne 0$ :

$$\forall x\in [0,1],1+y_0^{\prime }(x{)}^2=c^2{y}_0(x{)}^2,c=\frac{1}{K}\ne 0.$$

Deux conséquences utiles. (a) $c^2{y}_0^2=1+y_0^{\prime 2}\ge 1$, donc $y_0$ ne s'annule pas ; continue et valant $1$ en $0$, elle est strictement positive sur $[0,1]$ (théorème des valeurs intermédiaires). (b) $c^2{y}_0(x{)}^2>1⟺y_0^{\prime }(x)\ne 0$.