Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths I PC — Partie A (Q1 à Q5) : Réduction des endomorphismes de carré nul

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Maths I PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Tous les espaces sont des $C$ -espaces vectoriels de dimension finie. On note $C (E) = {u \in L (E) : u^{2} = 0}$ et, pour $p ⩾ 1$ , $Σ_{p} C (E)$ l'ensemble des sommes $u_{1} + \dots + u_{p}$ avec $u_{1}, \dots, u_{p} \in C (E)$ ; $Σ_{\infty} C (E)$ est la réunion des $Σ_{p} C (E)$ , $p \in N^{*}$ .

Dans cette partie, $dim E = n > 0$ , $u \in L (E)$ vérifie $u^{2} = 0$ et $u \neq = 0$ , et $r = rg (u)$ .

Q1. Déterminer les valeurs propres possibles de $u$ ; en déduire $tr (u) = 0$ .
Q2. En comparant $Ker (u)$ et $Im (u)$ , montrer que $r ⩽ n /2$ .
Q3. Justifier l'existence d'une famille libre $(e_{1}, \dots, e_{r})$ telle que $Ker (u) \oplus Vect (e_{1}, \dots, e_{r}) = E$ , puis montrer que $(u (e_{1}), \dots, u (e_{r}))$ est libre.
Q4. En déduire une base de $E$ où la matrice de $u$ est, par blocs de tailles $r$ , $r$ , $n - 2 r$ , la matrice $N_{r}$ dont le seul bloc non nul est $I_{r}$ , en position (ligne 2, colonne 1).
Q5. Montrer qu'il existe un unique entier $m > 0$ tel que $u$ soit représenté dans une base par $N_{m}$ .

Corrigé

Q1. Soit $λ$ une valeur propre de $u$ et $x \neq = 0$ tel que $u (x) = λ x$ . Alors $u^{2} (x) = u (λ x) = λ^{2} x$ , et $u^{2} = 0$ donne $λ^{2} x = 0$ , donc $λ^{2} = 0$ puisque $x \neq = 0$ : $λ = 0$ . Ainsi $Sp (u) \subset {0}$ (autrement dit, les valeurs propres sont racines du polynôme annulateur $X^{2}$ ).

Comme $E$ est un $C$ -espace vectoriel de dimension $n > 0$ , le polynôme caractéristique $χ_{u}$ , de degré $n ⩾ 1$ , est scindé sur $C$ (théorème de d'Alembert-Gauss) : il a au moins une racine, donc $Sp (u) = {0}$ et $χ_{u} = X^{n}$ . D'après le corollaire « trigonalisation sur $C$ », $u$ est trigonalisable, et la trace est la somme des valeurs propres comptées avec leur multiplicité :

$tr (u) = n termes 0 + 0 + \dots + 0 = 0.$

Ce que le correcteur attend : la mention du corps $C$ (trigonalisabilité) et des multiplicités ; savoir que $0$ est la seule valeur propre ne suffit pas sans ce lien entre trace et spectre.

Q2. Pour tout $x \in E$ , $u (u (x)) = u^{2} (x) = 0$ , donc $u (x) \in Ker (u)$ :

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