Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths I PC — Partie B (Q6 à Q8) : Sommes d'endomorphismes de carré nul et trace nulle

Q6. On rappelle la règle de calcul des matrices élémentaires :

$$E_{i,j}{E}_{k,\ell }={\delta }_{j,k}{E}_{i,\ell }(i,j,k,\ell \in [[1,n]]).$$

En particulier $E_{i,j}^2={\delta }_{j,i}{E}_{i,j}$ : si $i=j$, $E_{i,i}^2=E_{i,i}\ne 0$ ; si $i\ne j$, $E_{i,j}^2=0$. Les matrices $E_{i,j}$ de carré nul sont exactement celles d'indices distincts.

Soient $i\ne j$. On développe $F_{i,j}^2=F_{i,j}\cdot F_{i,j}$ en multipliant à gauche chacun des quatre termes par $F_{i,j}=E_{i,i}-E_{j,j}+E_{i,j}-E_{j,i}$, avec la règle ci-dessus :

$$\begin{array}{rl}{E}_{i,i}{F}_{i,j}& =E_{i,i}-0+E_{i,j}-0=E_{i,i}+E_{i,j},\\ E_{j,j}{F}_{i,j}& =0-E_{j,j}+0-E_{j,i}=-E_{j,j}-E_{j,i},\\ E_{i,j}{F}_{i,j}& =0-E_{i,j}+0-E_{i,i}=-E_{i,j}-E_{i,i},\\ E_{j,i}{F}_{i,j}& =E_{j,i}-0+E_{j,j}-0=E_{j,i}+E_{j,j}.\end{array}$$

Donc

$$F_{i,j}^2=(E_{i,i}+E_{i,j})-(-E_{j,j}-E_{j,i})+(-E_{i,j}-E_{i,i})-(E_{j,i}+E_{j,j})=0.$$

Ce que le correcteur attend : pas d'identité remarquable $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, les matrices $E_{i,i}-E_{j,j}$ et $E_{i,j}-E_{j,i}$ ne commutant pas. (Contrôle : sur les lignes et colonnes $i,j$, $F_{i,j}$ agit comme $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$, dont le carré est nul.)