Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths I PC — Partie C (Q9 à Q13) : Un endomorphisme de trace nulle hors de Σ3C(E)

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Maths I PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Ici $dim E = n ⩾ 5$ . On admet (dans cette partie seulement) le théorème de Wang et Wu : $u \in Σ_{2} C (E)$ si et seulement s'il existe $φ \in GL (E)$ tel que $- u = φ \circ u \circ φ^{- 1}$ .

Soit $u \in L (E)$ de trace nulle, admettant la valeur propre $1$ , avec $d = dim Ker (u - id_{E}) > \frac{3 n}{4}$ . On pose $w = u - id_{E}$ et l'on fixe $v \in C (E)$ .

Q9. Montrer qu'un tel endomorphisme $u$ existe.
Q10. En développant $(w - v)^{2}$ , établir que $rg ((w - v)^{2}) < n /2$ .
Q11. En remarquant que $Ker ((w - v)^{2})$ est stable par $w - v$ , montrer que $1$ est valeur propre de $u - v$ , de multiplicité au moins $n - rg ((w - v)^{2})$ .
Q12. En déduire que s'il existe $φ \in GL (E)$ tel que $- (u - v) = φ \circ (u - v) \circ φ^{- 1}$ , alors $1$ et $- 1$ sont valeurs propres de $u - v$ de multiplicités strictement supérieures à $n /2$ .
Q13. Conclure que $u \in / Σ_{3} C (E)$ .

Corrigé

Q9. Soit $B = (ε_{1}, \dots, ε_{n})$ une base de $E$ et $u_{0}$ l'endomorphisme de matrice

$D = diag (n - 1 1, \dots, 1, - (n - 1))$

dans $B$ . Alors $tr (u_{0}) = (n - 1) - (n - 1) = 0$ ; $1$ est valeur propre ; comme $- (n - 1) \neq = 1$ (car $n \neq = 0$ ), $D - I_{n} = diag (0, \dots, 0, - n)$ est de rang $1$ , donc $d = dim Ker (u_{0} - id_{E}) = n - 1$ par le théorème du rang. Enfin

$n - 1 > \frac{3 n}{4} ⟺ \frac{n}{4} > 1 ⟺ n > 4,$

ce qui est vrai puisque $n ⩾ 5$ . Donc $u_{0}$ vérifie toutes les contraintes.

Pourquoi $n ⩾ 5$ : on a toujours $d ⩽ n - 1$ , car $d = n$ imposerait $u = id_{E}$ , de trace $n \neq = 0$ . La contrainte $d > 3 n /4$ exige donc $n - 1 > 3 n /4$ , c'est-à-dire $n ⩾ 5$ : l'exemple est optimal.

Q10. Les endomorphismes $w$ et $v$ ne commutent pas a priori ; on développe donc sans identité remarquable, avec $v^{2} = 0$ :

$(w - v)^{2} = w^{2} - w \circ v - v \circ w + v^{2} = w^{2} - w \circ v - v \circ w = w \circ (w - v) - v \circ w .$

On utilise trois inégalités sur le rang, pour $f, g \in L (E)$ :

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