Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths II MP-MPI — Partie I (Q1 à Q9) : Quelques propriétés de O_n(R) : compacité, connexité, sous-groupes compacts

Q1. Le polynôme caractéristique de $R_{\theta }$ est

$$\chi (X)=(X-\cos \theta {)}^2+{\sin }^2\theta =X^2-2\cos \theta X+1,$$

de discriminant $4{\cos }^2\theta -4=-4{\sin }^2\theta$ ; ses racines complexes sont $\cos \theta \pm \mathrm{i}\sin \theta ={\mathrm{e}}^{\pm \mathrm{i}\theta }$. On distingue deux cas.

Cas $\sin \theta =0$, c'est-à-dire $\theta \in \pi \mathbb{Z}$ (et non seulement $\theta =0$). Alors $\cos \theta =\pm 1$ et $R_{\theta }=\pm I_2$ est diagonale : elle est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$ (son polynôme caractéristique $(X\mp 1{)}^2$ a une racine double, ce qui n'empêche rien : la matrice est déjà diagonale).

Cas $\sin \theta \ne 0$. Les racines ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$ et ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }$ ont pour parties imaginaires $\pm \sin \theta \ne 0$ : elles sont non réelles et distinctes (leur différence vaut $2\mathrm{i}\sin \theta \ne 0$). Sur $\mathbb{R}$, $R_{\theta }$ n'a aucune valeur propre ; or une matrice réelle diagonalisable sur $\mathbb{R}$ est semblable à une matrice diagonale réelle dont les coefficients diagonaux sont des valeurs propres réelles : $R_{\theta }$ n'est donc pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$. Sur $\mathbb{C}$, $\chi$ est scindé à racines simples en dimension $2$ : $R_{\theta }$ possède deux valeurs propres distinctes, donc est diagonalisable sur $\mathbb{C}$.

Ce que le correcteur attend : la disjonction selon $\sin \theta$ ; « complexe » ne veut pas dire « non réel ».

Q2. Inclusion $\supset$. Pour $\theta \in \mathbb{R}$,

$$R_{\theta }^{\top }{R}_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta & 0\\ 0& {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta \end{array}\right)=I_2$$

et $\det R_{\theta }={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ : $R_{\theta }\in {\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$.

Inclusion $\subset$. Soit $M=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$. L'égalité $M^{\top }M=I_2$ s'écrit, coefficient par coefficient,

$$a^2+b^2=1,ac+bd=0,c^2+d^2=1$$

(colonnes unitaires et orthogonales), et $\det M=ad-bc=1$. Comme $a^2+b^2=1$, il existe $\theta \in \mathbb{R}$ tel que $a=\cos \theta$ et $b=\sin \theta$ (paramétrage du cercle unité). Le couple $(c,d)$ est alors solution du système linéaire

$$\{\begin{array}{l}ac+bd=0\\ -bc+ad=1\end{array}$$

de déterminant $a^2+b^2=1\ne 0$ : il a une unique solution, et $(c,d)=(-b,a)$ en est une ($a(-b)+ba=0$ et $-b(-b)+a\cdot a=1$). Donc $c=-\sin \theta$, $d=\cos \theta$ et $M=R_{\theta }$.

Ce que le correcteur attend : on ne prend pas « le même $\theta$ » pour les deux colonnes sans justification ; c'est l'orthogonalité des colonnes et le déterminant qui fixent la seconde colonne.

Q3. On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ de la norme euclidienne $\Vert M{\Vert }_F=\sqrt{\mathrm{tr}(M^{\top }M)}=({\sum }_{i,j}{m}_{ij}^2{)}^{1/2}$ ; toutes les normes y sont équivalentes (dimension finie).

Borné. Pour $M\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$, $\Vert M{\Vert }_F=\sqrt{\mathrm{tr}(I_n)}=\sqrt{n}$.

Fermé. L'application $f:M\mapsto M^{\top }M$ est continue : chaque coordonnée $(M^{\top }M{)}_{ij}={\sum }_{k=1}^n{m}_{ki}{m}_{kj}$ est polynomiale en les coefficients de $M$. Donc ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})=f^{-1}(\{I_n\})$ est l'image réciproque d'un fermé (un singleton) par une application continue : c'est un fermé.

Fermé et borné dans l'espace de dimension finie ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ est compact.