Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths II MP-MPI — Partie II (Q10 à Q17) : Calcul différentiel sur O_n(R) et SL_n(R) : espace tangent, optimisation sous contrainte

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Maths II MP-MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de la partie I ( $n \geq 2$ , $O_{n} (R)$ , $SL_{n} (R)$ , $SO_{n} (R)$ ). On pose $f (M) = M^{⊤} M$ et $g (M) = tr (M^{⊤} M)$ pour $M \in M_{n} (R)$ . On note $T$ l'ensemble des $H \in M_{n} (R)$ pour lesquelles il existe $ε > 0$ et $γ :] - ε, ε [\to O_{n} (R)$ dérivable en $0$ avec $γ (0) = I_{n}$ et $γ^{'} (0) = H$ .

Q10. Montrer que $f$ est de classe $C^{1}$ et calculer $d f (M)$ .
Q11. Montrer que tout élément de $T$ est antisymétrique.
Q12. Montrer que $T$ est stable par somme, puis que c'est un espace vectoriel.
Q13. Déterminer $T$ .
Q14. Montrer que $g$ restreinte à $SL_{n} (R)$ n'a pas de maximum global.
Q15. Montrer que $g$ et $det$ sont de classe $C^{1}$ et calculer leurs gradients ; en particulier $\nabla det (M) = Com (M)$ .
Q16. Si $g$ restreinte à $SL_{n} (R)$ a un extremum local en $M$ , montrer que $M = λ Com (M)$ pour un réel $λ$ , puis que $M \in SO_{n} (R)$ .
Q17. Montrer que $g$ restreinte à $SL_{n} (R)$ admet un minimum global ; le calculer et trouver les points où il est atteint.

Corrigé

On munit $M_{n} (R)$ du produit scalaire canonique $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B) = \sum_{i, j} a_{ij} b_{ij}$ (pour lequel la base canonique $(E_{ij})$ est orthonormée) et de la norme associée $∥ A ∥_{F} = tr (A^{⊤} A)$ , de sorte que $g (M) = ∥ M ∥_{F}^{2}$ . Cette norme est sous-multiplicative : par l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $R^{n}$ ,

$∥ A B ∥_{F}^{2} = i, j \sum (k \sum a_{ik} b_{k j})^{2} \leq i, j \sum (k \sum a_{ik}^{2}) (k \sum b_{k j}^{2}) = ∥ A ∥_{F}^{2} ∥ B ∥_{F}^{2},$

et $∥ A^{⊤} ∥_{F} = ∥ A ∥_{F}$ (mêmes coefficients) — propriété propre à cette norme, fausse pour une norme quelconque.

Q10. Soient $M, H \in M_{n} (R)$ . En développant (le produit matriciel est bilinéaire, non commutatif),

$f (M + H) = (M + H)^{⊤} (M + H) = M^{⊤} M + (M^{⊤} H + H^{⊤} M) + H^{⊤} H .$

L'application $L_{M} : H \mapsto M^{⊤} H + H^{⊤} M$ est linéaire (la transposition et les produits à gauche ou à droite par une matrice fixe le sont), et le reste vérifie

$∥ H^{⊤} H ∥_{F} \leq ∥ H^{⊤} ∥_{F} ∥ H ∥_{F} = ∥ H ∥_{F}^{2} = o (∥ H ∥_{F}) .$

Donc $f$ est différentiable en tout $M$ , et

$d f (M) \cdot H = M^{⊤} H + H^{⊤} M .$

Classe $C^{1}$ . L'application $M \mapsto d f (M)$ , de $M_{n} (R)$ dans $L (M_{n} (R))$ , est linéaire ; au départ d'un espace de dimension finie, elle est continue. (Autre argument, par le critère pratique : chaque coordonnée $(M^{⊤} M)_{ij} = \sum_{k} m_{k i} m_{k j}$ est polynomiale en les $n^{2}$ coefficients de $M$ , donc admet des dérivées partielles continues.) Ainsi $f$ est de classe $C^{1}$ .

Ce que le correcteur attend : $f$ n'est ni linéaire ni « un produit de fonctions $C^{1}$ » ; le reste $H^{⊤} H$ se contrôle avec une norme précisée.

Q11. Soit $H \in T$ , et $γ$ comme dans la définition. Pour tout $t \in] - ε, ε [$ , $γ (t) \in O_{n} (R)$ , donc $f (γ (t)) = I_{n}$ : $f \circ γ$ est constante. Par la règle de dérivation le long d'un arc ( $γ$ est dérivable en $0$ , $f$ est différentiable en $γ (0) = I_{n}$ ), $f \circ γ$ est dérivable en $0$ et

$0 = (f \circ γ)^{'} (0) = d f (I_{n}) \cdot γ^{'} (0) = I_{n}^{⊤} H + H^{⊤} I_{n} = H + H^{⊤} .$

Donc $H^{⊤} = - H$ : $H$ est antisymétrique.

(Le théorème « espace tangent à un ensemble de niveau $=$ noyau de la différentielle » ne vaut au programme que pour une fonction numérique : il ne s'applique pas directement à $f$ , à valeurs matricielles.)

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