Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths II MP-MPI — Partie III (Q18 à Q23) : Morphismes continus de U dans GL_n(R) : régularité et forme exponentielle

Rappelons que $\phi (1)=I_n$ ($\phi$ est un morphisme de groupes) et que $\phi (z^k)=\phi (z{)}^k$ pour tout $k\in \mathbb{Z}$.

Q18. Sous-groupes bornés de ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Soit $H$ un sous-groupe borné de $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$, et $h\in H$. Pour tout $k\in \mathbb{Z}$, $h^k\in H$. Si $|h|>1$, $|h^k|=|h{|}^k\to +\infty$ quand $k\to +\infty$ ; si $|h|<1$, $|h^{-k}|\to +\infty$ quand $k\to +\infty$ : les deux cas contredisent la bornitude. Donc $|h|=1$, soit $h\in \{-1,1\}$. Ainsi $\{1\}\subset H\subset \{-1,1\}$ et $H=\{1\}$ ou $H=\{-1,1\}$ ; réciproquement ces deux ensembles sont des sous-groupes bornés. Ce sont les seuls.

Conséquence. L'application $\delta =\det \circ \phi :\mathbb{U}\to {\mathbb{R}}^{\ast }$ est :

• un morphisme de groupes ($\det (AB)=\det A\det B$), donc $\delta (\mathbb{U})$ est un sous-groupe de ${\mathbb{R}}^{\ast }$ ;
• continue (composée de $\phi$ et du déterminant, polynomial en les coefficients), donc $\delta (\mathbb{U})$ est l'image continue du compact $\mathbb{U}$ : c'est un compact de $\mathbb{R}$, en particulier une partie bornée ;
• définie sur un connexe par arcs : deux points ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}a}$, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}b}$ de $\mathbb{U}$ sont joints par le chemin continu $t\mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}((1-t)a+tb)}$, $t\in [0,1]$. L'image $\delta (\mathbb{U})$ est donc connexe par arcs, c'est un intervalle de $\mathbb{R}$.

Par la première partie, $\delta (\mathbb{U})\in \{\{1\},\{-1,1\}\}$ ; or $\{-1,1\}$ n'est pas un intervalle. Donc $\delta (\mathbb{U})=\{1\}$ : $\det \phi (z)=1$ pour tout $z\in \mathbb{U}$, soit $\boxed{\phi (\mathbb{U})\subset {\mathrm{SL}}_n(\mathbb{R})}$.