Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths II MP-MPI — Partie IV (Q24 à Q30) : Morphismes de (R,+) dans GL_n(R) : réduction et forme générale par blocs de rotation

Q24. Soit $P\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{C})$ telle que $B=P^{-1}AP$, soit $AP=PB$. Écrivons $P=R+\mathrm{i}S$ avec $R,S\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Comme $A$ et $B$ sont réelles, l'égalité $AR+\mathrm{i}AS=RB+\mathrm{i}SB$ se sépare en parties réelle et imaginaire :

$$AR=RB\text{et}AS=SB.$$

Par linéarité, $A(R+tS)=(R+tS)B$ pour tout $t\in \mathbb{C}$. Posons $q(t)=\det (R+tS)$. Par la formule de Leibniz, chaque terme est un produit de $n$ fonctions affines de $t$ à coefficients réels : $q$ est une fonction polynomiale de degré au plus $n$, à coefficients réels. Elle n'est pas nulle, puisque $q(\mathrm{i})=\det P\ne 0$ : elle n'a donc qu'un nombre fini de racines, et il existe $t_0\in \mathbb{R}$ tel que $q(t_0)\ne 0$. La matrice $P_0=R+t_{0}S$ est alors réelle et inversible, et $A{P}_0=P_{0}B$, soit $B=P_0^{-1}A{P}_0$ : $A$ et $B$ sont semblables dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

Ce que le correcteur attend : rien n'oblige $P$ à être réelle ; ni $R$ ni $S$ ne sont inversibles a priori, d'où le polynôme $q$.

Q25. Raisonnons par l'absurde : supposons $\ker N=\ker N^2$. Montrons par récurrence que $\ker N^k=\ker N$ pour tout $k\ge 1$. C'est vrai pour $k=1$. Si c'est vrai au rang $k$, soit $x\in \ker N^{k+1}$ : alors $N^2\left(N^{k-1}x\right)=0$, donc $N^{k-1}x\in \ker N^2=\ker N$, d'où $N^{k}x=0$ et $x\in \ker N^k=\ker N$ ; l'inclusion $\ker N\subset \ker N^{k+1}$ étant évidente, $\ker N^{k+1}=\ker N$. Or $N$ est nilpotente : il existe $m\ge 1$ tel que $N^m=0$, donc ${\mathbb{C}}^n=\ker N^m=\ker N$ et $N=0$, ce qui contredit $N\ne 0$. Donc $\ker N\ne \ker N^2$ (avec $\ker N⊊\ker N^2$).

(Un exemple de matrice nilpotente ne démontre rien : l'argument doit valoir pour toute $N$.)

Q26. Par Q23, $\exp (2\pi M)=\Psi (2\pi )=\phi ({\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi })=\phi (1)=I_n$ (et non « $1$ » : c'est une matrice). Soit $\lambda \in {\mathrm{Sp}}_{\mathbb{C}}(M)$ et $X\in {\mathbb{C}}^n$ non nul tel que $MX=\lambda X$. Alors $M^{k}X={\lambda }^{k}X$ pour tout $k$, et en passant à la limite dans les sommes partielles (l'application $B\mapsto BX$ est linéaire, donc continue),

$$X=\exp (2\pi M)X=\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(2\pi {)}^k}{k!}{M}^{k}X={\mathrm{e}}^{2\pi \lambda }X.$$

Comme $X\ne 0$, ${\mathrm{e}}^{2\pi \lambda }=1$, donc $2\pi \lambda \in 2\mathrm{i}\pi \mathbb{Z}$, soit $\lambda =\mathrm{i}k$ avec $k\in \mathbb{Z}$ : $\boxed{{\mathrm{Sp}}_{\mathbb{C}}(M)\subset \{\mathrm{i}k,k\in \mathbb{Z}\}}$.