Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths II PC — Partie 1 (Q1 à Q4) : Résultats généraux : solutions bornées, translation de 2π, périodicité

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Maths II PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$b$ et $c$ sont deux fonctions continues et $2 π$ -périodiques sur $R$ ; on étudie sur $R$ l'équation $(E)$ : $y^{''} + b (x) y = c (x)$ et l'équation homogène $(E H)$ : $y^{''} + b (x) y = 0$ . On note $S (E)$ l'ensemble des solutions de $(E)$ (fonctions de classe $C^{2}$ sur $R$ ), $S (H)$ l'espace vectoriel des solutions de $(E H)$ , $B (E)$ et $B (H)$ les ensembles de leurs solutions bornées. Sur l'espace $B (R, R)$ des fonctions bornées, $∥ f ∥ = sup_{t \in R} ∣ f (t) ∣$ . Pour $f \in C^{2} (R, R)$ , $T (f)$ est la fonction $x \mapsto f (x + 2 π)$ .

Q1. Montrer que $B (H)$ est un sous-espace vectoriel de $S (H)$ .
Q2. Si $(E)$ admet une solution bornée $f_{0}$ , montrer que $B (E) = {f_{0} + g, g \in B (H)}$ .
Q3. Montrer que si $f$ est solution de $(E)$ , alors $T (f)$ l'est aussi.
Q4. Si $f \in S (E)$ vérifie $f (0) = f (2 π)$ et $f^{'} (0) = f^{'} (2 π)$ , montrer que $f$ est $2 π$ -périodique (indication : $h = T (f) - f$ ).

Corrigé

Q1. Par définition, $B (H) = S (H) \cap B (R, R)$ est une partie de $S (H)$ , et $S (H)$ est un espace vectoriel (l'équation $(E H)$ est linéaire : si $g_{1}, g_{2} \in S (H)$ et $λ, μ \in R$ , la fonction $λ g_{1} + μ g_{2}$ est de classe $C^{2}$ et $(λ g_{1} + μ g_{2})^{''} + b (λ g_{1} + μ g_{2}) = λ (g_{1}^{''} + b g_{1}) + μ (g_{2}^{''} + b g_{2}) = 0$ ). Il reste à vérifier les deux points de la caractérisation des sous-espaces vectoriels, en n'oubliant pas le caractère borné :

la fonction nulle est solution de $(E H)$ et bornée, donc $0 \in B (H)$ ;
si $g_{1}, g_{2} \in B (H)$ et $λ, μ \in R$ , alors $λ g_{1} + μ g_{2} \in S (H)$ (ci-dessus) et, pour tout $x \in R$ ,

$∣ λ g_{1} (x) + μ g_{2} (x) ∣ \leq ∣ λ ∣ ∣ g_{1} (x) ∣ + ∣ μ ∣ ∣ g_{2} (x) ∣ \leq ∣ λ ∣ ∥ g_{1} ∥ + ∣ μ ∣ ∥ g_{2} ∥,$

donc $λ g_{1} + μ g_{2}$ est bornée : $λ g_{1} + μ g_{2} \in B (H)$ .

Ainsi $B (H)$ est un sous-espace vectoriel de $S (H)$ .

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