Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths II PC — Partie 2 (Q5 à Q10) : Un exemple à coefficients constants : y'' + ω²y = cos x

Q5. La fonction $f_0=d\cos$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ avec $f_0^{\prime \prime }=-d\cos$, donc pour tout $x$,

$$f_0^{\prime \prime }(x)+{\omega }^2{f}_0(x)=d({\omega }^2-1)\cos x.$$

Elle est solution de $(E)$ si et seulement si $d({\omega }^2-1)\cos x=\cos x$ pour tout $x$, c'est-à-dire (en $x=0$) $d({\omega }^2-1)=1$. Comme $\omega \ne 1$ et $\omega >0$, ${\omega }^2\ne 1$, et

$$d=\frac{1}{{\omega }^2-1},f_0(x)=\frac{\cos x}{{\omega }^2-1}.$$

L'équation homogène $y^{\prime \prime }+{\omega }^{2}y=0$ est linéaire à coefficients constants ; son équation caractéristique $r^2+{\omega }^2=0$ a pour racines $\pm \mathrm{i}\omega$ ($\omega \ne 0$), donc (cours de première année) ses solutions réelles sont les fonctions $x\mapsto \lambda \cos (\omega x)+\mu \sin (\omega x)$, $(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2$. Pour une telle fonction $y$, $y(0)=\lambda$ et $y^{\prime }(0)=\mu \omega$. D'où l'unique choix :

$$u(x)=\cos (\omega x)(\lambda =1,\mu =0),v(x)=\frac{\sin (\omega x)}{\omega }(\lambda =0,\mu =\frac{1}{\omega }).$$

Vérification : $u^{\prime }(x)=-\omega \sin (\omega x)$, $u^{\prime }(0)=0$ ; $v^{\prime }(x)=\cos (\omega x)$, $v^{\prime }(0)=1$.