Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths II PC — Partie 3 (Q11 à Q14) : Unicité de la solution bornée lorsque b est négative (convexité)

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Maths II PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans cette partie, $b (x) = - (1 + cos x)$ et $c$ est continue, $2 π$ -périodique quelconque : $(E H)$ s'écrit $y^{''} - (1 + cos x) y = 0$ .

Q11. Si $g$ est solution de $(E H)$ , montrer que $g^{2}$ est convexe.
Q12. En déduire que la fonction nulle est la seule solution bornée de $(E H)$ (on admet qu'une fonction convexe non constante n'est pas majorée sur $R$ ).
Q13. Montrer que $(E)$ possède au plus une solution bornée.
Q14. Montrer que si $(E)$ possède une solution bornée, elle possède une solution $2 π$ -périodique.

Corrigé

Q11. Soit $g \in S (H)$ : $g$ est de classe $C^{2}$ et $g^{''} (x) = (1 + cos x) g (x)$ pour tout $x$ . La fonction $g^{2}$ est de classe $C^{2}$ (produit), et l'on dérive patiemment le produit (et non « le carré de la dérivée ») :

$(g^{2})^{'} = 2 g g^{'}, (g^{2})^{''} = 2 g^{'2} + 2 g g^{''} = 2 g^{'2} + 2 (1 + cos x) g^{2} .$

Pour tout réel $x$ , $1 + cos x \geq 0$ , $g^{'} (x)^{2} \geq 0$ et $g (x)^{2} \geq 0$ , donc $(g^{2})^{''} (x) \geq 0$ . Par la caractérisation des fonctions convexes de classe $C^{2}$ sur un intervalle (dérivée seconde positive), $g^{2}$ est convexe sur $R$ .

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