Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths II PC — Partie 4 (Q15 à Q21) : Existence d'une solution périodique : série de sinus et opérateur L

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Maths II PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On garde $b (x) = - (1 + cos x)$ : $(E)$ s'écrit $y^{''} - (1 + cos x) y = c (x)$ . On admet l'existence d'une suite réelle bornée $(a_{n})_{n \in N^{*}}$ telle que $(n^{2} + 1) a_{n} + \frac{1}{2} (a_{n + 1} + a_{n - 1}) = 0$ pour tout $n \geq 2$ et $4 a_{1} + a_{2} = - 2$ ; $M$ est un réel tel que $∣ a_{n} ∣ \leq M$ pour tout $n \in N^{*}$ .

Q15. Montrer que $\sum a_{n}$ et $\sum n^{2} a_{n}$ sont absolument convergentes.
Q16. Montrer que $g : x \mapsto \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n} sin (n x)$ est solution de $y^{''} - (1 + cos x) y = sin x$ .

On note $s_{n} : x \mapsto sin (n x)$ ( $n \in N^{*}$ ), $P_{N} = Vect (s_{1}, \dots, s_{N})$ , $P = ⋃_{N \geq 1} P_{N}$ , et $L$ l'application linéaire sur $P$ : $L (p) (x) = p^{''} (x) - (1 + cos x) p (x)$ .
Q17. Montrer que $(s_{1}, \dots, s_{N})$ est une base de $P_{N}$ (on peut calculer $\int_{0}^{2 π} s_{n} s_{m}$ , $n \neq = m$ ).
Q18. Exprimer $L (s_{n})$ en fonction de $s_{n}$ , $s_{n + 1}$ , $s_{n - 1}$ (avec $s_{0} = 0$ ).
Q19. Montrer que $L$ est un endomorphisme injectif de $P$ et que $s_{1} \in / Im L$ .
Q20. En déduire que $L (P_{N}) \oplus P_{1} = P_{N + 1}$ pour tout $N \geq 1$ .
Q21. Si $c \in P$ , montrer que $(E)$ possède une solution périodique.

Corrigé

Q15. La relation de récurrence n'est pas à coefficients constants ; on s'en sert pour améliorer la majoration $∣ a_{n} ∣ \leq M$ . Pour $n \geq 2$ , elle donne $a_{n} = - \frac{a _{n + 1} + a _{n - 1}}{2 ( n ^{2} + 1 )}$ .

Première étape. Pour $n \geq 2$ , $∣ a_{n} ∣ \leq \frac{∣ a _{n + 1} ∣ + ∣ a _{n - 1} ∣}{2 ( n ^{2} + 1 )} \leq \frac{2 M}{2 ( n ^{2} + 1 )} \leq \frac{M}{n ^{2}}$ . Pour $n = 1$ , $∣ a_{1} ∣ \leq M = \frac{M}{1 ^{2}}$ . Donc $∣ a_{m} ∣ \leq \frac{M}{m ^{2}}$ pour tout $m \geq 1$ .

Deuxième étape. Pour $n \geq 2$ , on réinjecte cette majoration aux rangs $n + 1$ et $n - 1 \geq 1$ , et l'on utilise $\frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} \leq \frac{1}{( n - 1 ) ^{2}}$ :

$∣ a_{n} ∣ \leq \frac{1}{2 ( n ^{2} + 1 )} (\frac{M}{( n + 1 ) ^{2}} + \frac{M}{( n - 1 ) ^{2}}) \leq \frac{M}{( n ^{2} + 1 ) ( n - 1 ) ^{2}},$

d'où

$0 \leq n^{2} ∣ a_{n} ∣ \leq \frac{M n ^{2}}{( n ^{2} + 1 ) ( n - 1 ) ^{2}} .$

Pour $n \geq 2$ , $\frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1} \leq 1$ et $n - 1 \geq \frac{n}{2}$ , donc $(n - 1)^{2} \geq \frac{n ^{2}}{4}$ : le majorant est au plus $\frac{4 M}{n ^{2}}$ , terme général d'une série de Riemann convergente (exposant $2 > 1$ ). Par le critère de comparaison des séries à termes positifs, $\sum n^{2} ∣ a_{n} ∣$ converge : $\sum n^{2} a_{n}$ est absolument convergente. Comme $0 \leq ∣ a_{n} ∣ \leq n^{2} ∣ a_{n} ∣$ pour $n \geq 1$ , $\sum ∣ a_{n} ∣$ converge aussi : $\sum a_{n}$ est absolument convergente.

Ce que le correcteur attend : ni règle de d'Alembert (les quotients $a_{n + 1} / a_{n}$ ne sont pas contrôlés), ni « série de terme constant $M$ » ; une majoration $∣ a_{n} ∣ \leq M / n^{2}$ ne suffit pas pour $\sum n^{2} a_{n}$ : il faut l'itérer une fois.

Q16. Posons $u_{n} (x) = a_{n} sin (n x)$ ( $n \geq 1$ ), fonctions de classe $C^{2}$ sur $R$ avec $u_{n}^{'} (x) = n a_{n} cos (n x)$ et $u_{n}^{''} (x) = - n^{2} a_{n} sin (n x)$ . Pour tout $x \in R$ :

$∣ u_{n} (x) ∣ \leq ∣ a_{n} ∣, ∣ u_{n}^{'} (x) ∣ \leq n ∣ a_{n} ∣ \leq n^{2} ∣ a_{n} ∣, ∣ u_{n}^{''} (x) ∣ \leq n^{2} ∣ a_{n} ∣.$

D'après Q15, les séries $\sum u_{n}$ , $\sum u_{n}^{'}$ , $\sum u_{n}^{''}$ convergent normalement, donc uniformément et simplement, sur $R$ . Le théorème de dérivation terme à terme, dans son extension à la classe $C^{2}$ (convergence simple de $\sum u_{n}$ et $\sum u_{n}^{'}$ , convergence uniforme de $\sum u_{n}^{''}$ sur l'intervalle $R$ ), montre que $g$ est de classe $C^{2}$ sur $R$ et

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →