Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths II PC — Partie 5 (Q22 à Q25) : Un théorème général : bornes atteintes en dimension finie

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Maths II PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Retour au cas général : $b$ , $c$ continues et $2 π$ -périodiques, $c$ non identiquement nulle. But : si $(E)$ a une solution $f_{0}$ telle que $f_{0}$ et $f_{0}^{'}$ soient bornées, alors $(E)$ a une solution périodique. On suppose donc qu'une telle $f_{0}$ existe, et l'on pose $M_{0} = ∥ f_{0} ∥$ , $M_{1} = ∥ f_{0}^{'} ∥$ , $A = {f \in B (E), ∥ f ∥ \leq M_{0}}$ .

Q22. Donner un sous-espace vectoriel $H$ de $B (R, R)$ de dimension finie contenant $A$ ; montrer que $A$ est une partie fermée, bornée, non vide de $H$ .
Q23. Soit $α$ la borne inférieure de $I = {∣ f (2 π) - f (0) ∣ + ∣ f^{'} (2 π) - f^{'} (0) ∣, f \in A}$ . Montrer que $α$ est bien défini et atteint en un $f_{1} \in A$ .
Q24. Montrer que $α \leq \frac{2 ( M _{0} + M _{1} )}{n + 1}$ pour tout $n \in N$ (utiliser $g_{n} = \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} T^{k} (f_{0})$ ).
Q25. Conclure : $(E)$ possède une solution périodique.

Corrigé

Q22. Choix de $H$ . D'après Q2 (qui s'applique, $f_{0}$ étant une solution bornée), $B (E) = f_{0} + B (H)$ . On pose

$H = R f_{0} + B (H) = {λ f_{0} + g, λ \in R, g \in B (H)} .$

C'est un sous-espace vectoriel de $B (R, R)$ (somme de deux sous-espaces de fonctions bornées, cf. Q1), et il contient $B (E)$ , donc $A$ .

Dimension finie. L'application linéaire $Φ : S (H) \to R^{2}$ , $g \mapsto (g (0), g^{'} (0))$ , est injective : si $g (0) = g^{'} (0) = 0$ , alors $g = 0$ par le lemme d'unicité démontré en Q4 (unicité dans le théorème de Cauchy linéaire). Donc $dim S (H) \leq 2$ , puis $dim B (H) \leq 2$ et $dim H \leq 3$ . (Le théorème de Cauchy linéaire donne même $dim S (H) = 2$ , mais la majoration suffit.)

La somme est directe. Si $λ f_{0} \in B (H)$ , alors $0 = λ (f_{0}^{''} + b f_{0}) = λ c$ , donc $λ = 0$ car $c \neq = 0$ . Ainsi $H = R f_{0} \oplus B (H)$ et l'application $ℓ : λ f_{0} + g \mapsto λ$ est une forme linéaire bien définie sur $H$ . Pour $h = λ f_{0} + g \in H$ , $h^{''} + bh = λ c$ , donc $h \in S (E)$ si et seulement si $λ c = c$ , si et seulement si $ℓ (h) = 1$ ; et $h$ est toujours bornée. D'où

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