Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths II PSI — Partie 1 (Q1 à Q9) : Calcul de la somme des 1/(n²+x²)

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Maths II PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On pose, pour $t \in R$ , $S (t) = \sum_{n ⩾ 1} cos (n t) / n^{2}$ et, pour $x \in R$ , $g_{x} (t) = \sum_{n ⩾ 1} cos (n t) / (n^{2} (n^{2} + x^{2}))$ .

Q1. Pour $θ \in R ∖ 2 π Z$ et $n ⩾ 1$ , exprimer $\sum_{k = 1}^{n} e^{i k θ} / k$ comme l'intégrale sur $[0, 1]$ de $e^{i θ} \frac{1 - ( e ^{i θ} t ) ^{n}}{1 - e ^{i θ} t}$ .
Q2. En déduire la convergence de $\sum e^{i k θ} / k$ et sa somme $\int_{0}^{1} \frac{e ^{i θ}}{1 - e ^{i θ} t} d t$ .
Q3. Pour $θ \in] 0, π [$ , montrer que $\sum_{k ⩾ 1} sin (k θ) / k = (π - θ) /2$ (indication : $u_{θ} (t) = Arctan \frac{t s i n θ}{1 - t c o s θ}$ ).
Q4. Montrer que $S$ est définie et continue sur $R$ .
Q5. En déduire $S (θ) = \frac{θ ^{2}}{4} - \frac{π θ}{2} + S (0)$ pour $θ \in [0, π [$ .
Q6. Montrer que $g_{x}$ est de classe $C^{2}$ et que $g_{x}^{''} - x^{2} g_{x} = - S$ .
Q7. Pour $x \neq = 0$ , trouver une solution polynomiale de degré 2 de $(E_{x})$ : $y^{''} - x^{2} y = - \frac{t ^{2}}{4} + \frac{π t}{2} - S (0)$ .
Q8. Calculer $g_{x}^{'} (0)$ , $g_{x}^{'} (π)$ ; pour $x \neq = 0$ , montrer que $g_{x}^{''} (0) = - \frac{π}{2 x} \cdot \frac{1 + e ^{- 2 π x}}{1 - e ^{- 2 π x}} + \frac{1}{2 x ^{2}}$ .
Q9. En déduire, pour $x \neq = 0$ : $\frac{2 π x}{e ^{2 π x} - 1} = 1 - π x + \sum_{n ⩾ 1} \frac{2 x ^{2}}{n ^{2} + x ^{2}}$ .

Corrigé

Q1. Soit $θ \in R ∖ 2 π Z$ . La raison ne vaut jamais $1$ . Si $t \in [0, 1]$ vérifiait $e^{i θ} t = 1$ , en passant au module on aurait $t = 1$ , puis $e^{i θ} = 1$ , c'est-à-dire $θ \in 2 π Z$ : exclu. Donc $1 - e^{i θ} t \neq = 0$ pour tout $t \in [0, 1]$ , et la fonction $t \mapsto e^{i θ} \frac{1 - ( e ^{i θ} t ) ^{n}}{1 - e ^{i θ} t}$ est continue sur le segment $[0, 1]$ .

Pour $t \in [0, 1]$ , la somme des termes d'une suite géométrique de raison $e^{i θ} t \neq = 1$ donne

$k = 1 \sum n (e^{i θ} t)^{k - 1} = j = 0 \sum n - 1 (e^{i θ} t)^{j} = \frac{1 - ( e ^{i θ} t ) ^{n}}{1 - e ^{i θ} t} .$

Or, pour $k ⩾ 1$ , $\int_{0}^{1} e^{i θ} (e^{i θ} t)^{k - 1} d t = e^{i k θ} \int_{0}^{1} t^{k - 1} d t = \frac{e ^{i k θ}}{k}$ . Par linéarité de l'intégrale :

$k = 1 \sum n \frac{e ^{i k θ}}{k} = \int_{0}^{1} e^{i θ} \frac{1 - ( e ^{i θ} t ) ^{n}}{1 - e ^{i θ} t} d t .$

Ce que le correcteur attend : la preuve que $e^{i θ} t \neq = 1$ sur tout $[0, 1]$ , y compris en $t = 1$ où intervient l'hypothèse $θ \in / 2 π Z$ .

Q2. La fonction $t \mapsto ∣1 - e^{i θ} t ∣$ est continue sur le segment $[0, 1]$ et ne s'y annule pas (Q1) : elle atteint son minimum $m_{θ} > 0$ . Notons $I (θ) = \int_{0}^{1} \frac{e ^{i θ}}{1 - e ^{i θ} t} d t$ (intégrale d'une fonction continue sur un segment). D'après Q1,

$I (θ) - k = 1 \sum n \frac{e ^{i k θ}}{k} = \int_{0}^{1} \frac{e ^{i θ} ( e ^{i θ} t ) ^{n}}{1 - e ^{i θ} t} d t,$

donc

$I (θ) - k = 1 \sum n \frac{e ^{i k θ}}{k} ⩽ \int_{0}^{1} \frac{t ^{n}}{m _{θ}} d t = \frac{1}{m _{θ} ( n + 1 )} n \to + \infty 0.$

(On a majoré le module de l'intégrale par l'intégrale du module.) La suite des sommes partielles converge donc vers $I (θ)$ : la série $\sum_{k ⩾ 1} e^{i k θ} / k$ converge et $\sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{e ^{i k θ}}{k} = \int_{0}^{1} \frac{e ^{i θ}}{1 - e ^{i θ} t} d t$ . (Le théorème de convergence dominée sur $[0, 1 [$ avec la dominante $1/ m_{θ}$ donne la même chose.)

Q3. Soit $θ \in] 0, π [$ . Convergence. Les sommes partielles de $\sum sin (k θ) / k$ sont les parties imaginaires de celles de la série de Q2 ; comme $z \mapsto Im z$ est linéaire et continue ( $∣ Im z - Im w ∣ ⩽ ∣ z - w ∣$ ), la série $\sum sin (k θ) / k$ converge et $\sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{s i n ( k θ )}{k} = Im I (θ) = \int_{0}^{1} Im \frac{e ^{i θ}}{1 - e ^{i θ} t} d t$ .

Partie imaginaire de l'intégrande. En multipliant par le conjugué du dénominateur :

$\frac{e ^{i θ}}{1 - e ^{i θ} t} = \frac{e ^{i θ} ( 1 - e ^{- i θ} t )}{∣1 - e ^{i θ} t ∣ ^{2}} = \frac{e ^{i θ} - t}{1 - 2 t cos θ + t ^{2}},$

donc

$Im \frac{e ^{i θ}}{1 - e ^{i θ} t} = \frac{sin θ}{1 - 2 t cos θ + t ^{2}},$

car $∣1 - e^{i θ} t ∣^{2} = (1 - t cos θ)^{2} + t^{2} sin^{2} θ = 1 - 2 t cos θ + t^{2}$ .

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