Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths II PSI — Partie 2 (Q10 à Q14) : Développement en série entière de x/(eˣ−1), ζ(2) et ζ(4)

Q10. Soient $x\in ]-1,1[$, $N\in \mathbb{N}$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $q=-\frac{x^2}{n^2}$. Comme $q⩽0$, $q\ne 1$ et la somme des termes d'une suite géométrique donne, avec $1-q=\frac{n^2+x^2}{n^2}$ :

$$\frac{1}{n^2}\sum _{k=0}^N{q}^k=\frac{1}{n^2}\cdot \frac{1-q^{N+1}}{1-q}=\frac{1-q^{N+1}}{n^2+x^2}=\frac{1}{x^2+n^2}-\frac{(-1{)}^{N+1}}{x^2+n^2}\cdot \frac{x^{2N+2}}{n^{2N+2}},$$

puisque $q^{N+1}=(-1{)}^{N+1}{x}^{2N+2}/n^{2N+2}$. C'est exactement $\frac{1}{x^2+n^2}=\frac{1}{n^2}{\sum }_{k=0}^N(\frac{-x^2}{n^2}{)}^k+R_{N,n}(x)$.

Majoration. Comme $x^2+n^2⩾n^2⩾1$, $0⩽|R_{N,n}(x)|=\frac{1}{x^2+n^2}\cdot \frac{|x{|}^{2N+2}}{n^{2N+2}}⩽\frac{|x{|}^{2N+2}}{n^{2N+2}}$. La série ${\sum }_n{n}^{-(2N+2)}$ est une série de Riemann convergente ($2N+2⩾2>1$), de somme $\zeta (2N+2)$ ; par le théorème de comparaison des séries à termes positifs, ${\sum }_n|R_{N,n}(x)|$ converge et

$$\sum _{n=1}^{+\infty }|R_{N,n}(x)|⩽|x{|}^{2N+2}\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{2N+2}}=\zeta (2N+2)|x{|}^{2N+2}.$$

Q11. Limite de $\zeta$. Pour $s⩾2$ et $n⩾2$, $n^{-s}=n^{-2}{n}^{-(s-2)}⩽n^{-2}{2}^{-(s-2)}$, donc

$$0⩽\zeta (s)-1=\sum _{n=2}^{+\infty }\frac{1}{n^s}⩽2^{2-s}\sum _{n=2}^{+\infty }\frac{1}{n^2}\underset{s\to +\infty }{\to }0.$$

Ainsi ${\lim }_{s\to +\infty }\zeta (s)=1$. (Variante : la série de fonctions ${\sum }_{n⩾2}{n}^{-s}$ converge normalement sur $[2,+\infty [$ car $n^{-s}⩽n^{-2}$, chaque terme tend vers $0$ quand $s\to +\infty$, et le théorème de la double limite donne ${\sum }_{n⩾2}{n}^{-s}\to 0$.) En particulier la suite $(\zeta (2N+2){)}_{N\in \mathbb{N}}$ est bornée, par un réel $M$ (d'ailleurs $\zeta$ est décroissante et $M=\zeta (2)$ convient).