Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths II PSI — Partie 3 (Q15 à Q20) : Probabilité qu'un entier soit sans facteur à la puissance k

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Maths II PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$p_{1} < p_{2} < \dots$ sont les nombres premiers. Soit $k ⩾ 2$ ; $m \in N^{*}$ est sans facteur à la puissance $k$ si aucun $p^{k}$ ( $p$ premier) ne divise $m$ . Pour $n \in N^{*}$ , $p_{r}$ est le plus grand premier $⩽ n$ ; $P_{n}$ est la probabilité uniforme sur $[[1, n]]$ , $S_{n} (k) = {m \in [[1, n]] : \forall j \in [[1, r]], p_{j}^{k} ∤ m}$ , $q_{n} (k) = P_{n} (S_{n} (k))$ et $A_{n} (d) = {j \in [[1, n]] : d ∣ j}$ . La fonction de Möbius vaut $μ (1) = 1$ , $μ (m) = (- 1)^{q}$ si $m$ est produit de $q$ premiers distincts, $0$ sinon.

Q15. Montrer que $\prod_{i = 1}^{r} (1 + x_{i}) = 1 + \sum_{m = 1}^{r} \sum_{1 ⩽ i_{1} < \dots < i_{m} ⩽ r} x_{i_{1}} \dots x_{i_{m}}$ .
Q16. Montrer que $1_{A ˉ} = 1 - 1_{A}$ et $1_{A_{1}} \dots 1_{A_{m}} = 1_{A_{1} \cap \dots \cap A_{m}}$ .
Q17. En déduire la formule du crible (inclusion-exclusion) pour $P (A_{1} \cup \dots \cup A_{r})$ .
Q18. Justifier que $q_{n} (k) = 1 - P_{n} (⋃_{i} A_{n} (p_{i}^{k}))$ , puis $q_{n} (k) = 1 + \sum_{m = 1}^{r} \sum_{i_{1} < \dots < i_{m}} (- 1)^{m} P_{n} (A_{n} (p_{i_{1}}^{k} \dots p_{i_{m}}^{k}))$ .
Q19. Justifier que $q_{n} (k) = \frac{1}{n} \sum_{d ⩾ 1} μ (d) ⌊ n / d^{k} ⌋$ .
Q20. Montrer que $q_{n} (k) \to ℓ = \sum_{d ⩾ 1} μ (d) / d^{k}$ (indication : $f_{n} (t) = \frac{1}{n} μ (d) ⌊ n / d^{k} ⌋$ pour $t \in [d, d + 1 [$ , et convergence dominée).

Corrigé

Q15. Pour $I \subset [[1, r]]$ non vide, notons $x_{I} = \prod_{i \in I} x_{i}$ . Se donner une partie $I$ à $m$ éléments, c'est se donner ses éléments rangés par ordre croissant $i_{1} < \dots < i_{m}$ ; la formule à établir s'écrit donc $\prod_{i = 1}^{r} (1 + x_{i}) = 1 + \sum_{\emptyset \neq = I \subset [[1, r]]} x_{I}$ . Récurrence sur $r ⩾ 1$ .

Initialisation. Pour $r = 1$ : $1 + x_{1} = 1 + x_{{1}}$ .

Hérédité. Supposons la formule vraie au rang $r$ . Alors

$i = 1 \prod r + 1 (1 + x_{i}) = (1 + \emptyset \neq = I \subset [[1, r]] \sum x_{I}) (1 + x_{r + 1}) = 1 + \emptyset \neq = I \subset [[1, r]] \sum x_{I} + x_{r + 1} + \emptyset \neq = I \subset [[1, r]] \sum x_{I \cup {r + 1}} .$

Les parties non vides $J$ de $[[1, r + 1]]$ se répartissent sans répétition en trois familles : celles qui ne contiennent pas $r + 1$ (les $I$ non vides de $[[1, r]]$ ), la partie ${r + 1}$ , et les $I \cup {r + 1}$ avec $I \neq = \emptyset$ . Les trois sommes ci-dessus décrivent donc exactement $\sum_{\emptyset \neq = J \subset [[1, r + 1]]} x_{J}$ : la formule est vraie au rang $r + 1$ .

Q16. Soit $ω \in Ω$ (une issue). Les deux membres prennent leurs valeurs dans ${0, 1}$ .

$1_{A ˉ} (ω) = 1 ⟺ ω \in / A ⟺ 1_{A} (ω) = 0 ⟺ 1 - 1_{A} (ω) = 1$ ; deux fonctions à valeurs dans ${0, 1}$ qui valent $1$ aux mêmes issues sont égales : $1_{A ˉ} = 1 - 1_{A}$ .
Le produit $1_{A_{1}} (ω) \dots 1_{A_{m}} (ω)$ de nombres valant $0$ ou $1$ vaut $1$ si et seulement si chaque facteur vaut $1$ , c'est-à-dire si et seulement si $ω \in A_{j}$ pour tout $j$ , soit $ω \in A_{1} \cap \dots \cap A_{m}$ ; sinon il vaut $0$ . D'où $1_{A_{1}} \dots 1_{A_{m}} = 1_{A_{1} \cap \dots \cap A_{m}}$ .

Q17. Soit $A = A_{1} \cup \dots \cup A_{r}$ ; par les lois de De Morgan, $A ˉ = A ˉ_{1} \cap \dots \cap A ˉ_{r}$ . Par Q16 (les deux points), pour toute issue $ω$ :

$1_{A ˉ} (ω) = i = 1 \prod r 1_{A ˉ_{i}} (ω) = i = 1 \prod r (1 - 1_{A_{i}} (ω)) .$

On applique Q15 aux réels $x_{i} = - 1_{A_{i}} (ω)$ , puis Q16 aux produits d'indicatrices :

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