Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths II PSI — Partie 4 (Q21 à Q25) : Somme des μ(d)/d^k et limite 1/ζ(k)

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Maths II PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de la partie 3 ( $μ$ fonction de Möbius, $q_{n} (k)$ ). Pour $s > 1$ et $i \in N^{*}$ : $u_{i} = μ (i) / i^{s}$ , $v_{i} = 1/ i^{s}$ . Pour $N \in N^{*}$ : $E_{N} = [[1, N]]^{2}$ , $F_{N} = {(i, j) \in E_{N} : ij ⩽ N}$ , $w_{N} = \sum_{d ∣ N} ∣ u_{d} ∣ v_{N / d}$ et $S_{N} = \sum_{m = 1}^{N} w_{m}$ .

Q21. Justifier que $F_{N} \subset E_{N} \subset F_{N^{2}}$ , montrer que $(S_{N})$ converge, et en déduire $\sum_{m ⩾ 1} \sum_{d ∣ m} ∣ u_{d} ∣ v_{m / d} = (\sum_{i} ∣ μ (i) ∣/ i^{s}) (\sum_{j} 1/ j^{s})$ .
Q22. Majorer $(\sum_{i ⩽ N} u_{i}) (\sum_{j ⩽ N} v_{j}) - \sum_{m ⩽ N} \sum_{d ∣ m} u_{d} v_{m / d}$ par $\sum_{E_{N}} ∣ u_{i} ∣ v_{j} - \sum_{F_{N}} ∣ u_{i} ∣ v_{j}$ ; en déduire $\sum_{m ⩾ 1} \frac{1}{m ^{s}} \sum_{d ∣ m} μ (d) = (\sum_{i} μ (i) / i^{s}) (\sum_{j} 1/ j^{s})$ .
Q23. Montrer que $\sum_{d ∣ m} μ (d)$ vaut $1$ si $m = 1$ et $0$ sinon.
Q24. En déduire $\sum_{i ⩾ 1} μ (i) / i^{s} = 1/ ζ (s)$ pour $s > 1$ .
Q25. Montrer que $q_{n} (k) \to 1/ ζ (k)$ ; préciser les limites de $q_{n} (2)$ et $q_{n} (4)$ .

Corrigé

Notons $A = \sum_{i = 1}^{+ \infty} ∣ u_{i} ∣$ et $B = \sum_{j = 1}^{+ \infty} v_{j} = ζ (s)$ ; ces séries convergent : $0 ⩽ ∣ u_{i} ∣ ⩽ \frac{1}{i ^{s}}$ , série de Riemann convergente ( $s > 1$ ), et comparaison des séries à termes positifs. On note $A_{N} = \sum_{i = 1}^{N} ∣ u_{i} ∣$ et $B_{N} = \sum_{j = 1}^{N} v_{j}$ , de limites $A$ et $B$ .

Q21. Inclusions. $F_{N} \subset E_{N}$ par définition. Si $(i, j) \in E_{N}$ , alors $i, j ⩽ N ⩽ N^{2}$ et $ij ⩽ N \cdot N = N^{2}$ : $(i, j) \in E_{N^{2}}$ et $ij ⩽ N^{2}$ , donc $(i, j) \in F_{N^{2}}$ .

$S_{N}$ comme somme sur $F_{N}$ . L'application $(m, d) \mapsto (d, m / d)$ est une bijection de ${(m, d) : 1 ⩽ m ⩽ N, d ∣ m}$ sur $F_{N}$ , de réciproque $(i, j) \mapsto (ij, i)$ (si $(i, j) \in F_{N}$ , $m = ij ⩽ N$ et $i ∣ m$ ). Ces ensembles étant finis, on peut réordonner la somme :

$S_{N} = m = 1 \sum N d ∣ m \sum ∣ u_{d} ∣ v_{m / d} = (i, j) \in F_{N} \sum ∣ u_{i} ∣ v_{j} .$

De même $\sum_{(i, j) \in E_{N}} ∣ u_{i} ∣ v_{j} = (\sum_{i = 1}^{N} ∣ u_{i} ∣) (\sum_{j = 1}^{N} v_{j}) = A_{N} B_{N}$ (produit de deux sommes finies).

Convergence. Les termes $∣ u_{i} ∣ v_{j}$ sont positifs. Donc $w_{m} ⩾ 0$ et $(S_{N})$ est croissante ; de plus $F_{N} \subset E_{N}$ donne $S_{N} ⩽ A_{N} B_{N} ⩽ A B$ . Suite croissante majorée, $(S_{N})$ converge vers une limite $L ⩽ A B$ .

Valeur de la limite. L'inclusion $E_{N} \subset F_{N^{2}}$ donne $A_{N} B_{N} ⩽ S_{N^{2}}$ . Quand $N \to + \infty$ , $A_{N} B_{N} \to A B$ et $S_{N^{2}} \to L$ (suite extraite), d'où $A B ⩽ L$ . Ainsi $L = A B$ :

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