Corrigé Mines-Ponts 2026 Sciences industrielles PSI — Partie 6 (Q13 à Q21) : Dynamique de l'axe X, efforts dans le guidage et identification du frottement par moindres carrés

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Sciences industrielles PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

$R (O, X, Y, Z)$ lié au carter (0), galiléen, pesanteur $- g Z$ . Induit X (1) : centre d'inertie $G_{1}$ , $m_{1} = 4 kg$ ; miroir (2), encastré sur (1) : $G_{2}$ , $m_{2} = 6 kg$ . Paramétrage : $O M = x (t) X$ , $M G_{1} = - l Y$ , $G_{1} G_{2} = a Z - b Y$ , avec $l = 100 mm$ , $a = 70 mm$ , $b = 100 mm$ . Actions : ${T_{0 \to 1}}$ du guidage ; ${T_{2 \to 1}}$ de l'encastrement ; motrice ${T_{M o t e u r \to 1}} = {F_{m} X; 0}_{G_{1}}$ . Notation : $R_{i \to j} = X_{ij} X + Y_{ij} Y + Z_{ij} Z$ , $M_{P, i \to j} = L_{ij} X + M_{ij} Y + N_{ij} Z$ .

{ Figure C — Géométrie de l'axe X (Annexe 4).}

MLS : $F_{m - ma x} = 1000 N$ , $A = 50 N \cdot A^{- 1}$ . Limites du guidage (moments en $M$ ) :

$∣ Y_{01} ∣$	$∣ Z_{01} ∣$	$∣ L_{01} ∣$	$∣ M_{01} ∣$	$∣ N_{01} ∣$
$< 1 kN$	$< 1 kN$	$< 20 N \cdot m$	$< 80 N \cdot m$	$< 80 N \cdot m$

Q13. Liaison 0/1 parfaite : loi reliant $F_{m}$ , $m_{1}$ , $m_{2}$ , $x ¨$ .
Q14. Force motrice nécessaire (phase à justifier) ; conclure sur 1.3.2.
Q15. Glissière 0/1 parfaite : forme de ${T_{0 \to 1}}$ en $M$ .
Q16. Expressions des inconnues non nulles de ${T_{0 \to 1}}$ en $M$ .
Q17. Valeurs dans la phase la plus contraignante ; conclure.

Essais : frottement $F_{f}$ du guidage selon $V = x ˙$ ( $n$ points $(F_{f i}, V_{i})$ , $V_{i} > 0$ ) ; on cherche $y (V) = aV + b$ minimisant $J (a, b) = \sum_{i = 1}^{n} e_{i}^{2}$ , soit $\partial J / \partial a = 0$ (1) et $\partial J / \partial b = 0$ (2).

{ Figure D — Relevé et droite $y (V)$ (valeurs lues).}

Q18. Méthode, type d'apprentissage, nom de $J$ , sens de (1)-(2), expression de $e_{i}$ .
Q19. Mettre sous la forme $A_{11} a + A_{12} b = C_{1}$ , $A_{21} a + A_{22} b = C_{2}$ .
Q20. Exprimer $(a, b)$ en fonction des $(F_{f i}, V_{i})$ .

Estimation : $a = 1, 2 N \cdot s \cdot m^{- 1}$ , $b = 1, 1 N$ . Tracé simplifié dans les deux sens : fonction impaire, saut de $- 1, 1$ à $+ 1, 1 N$ en $V = 0$ , $F_{f} = \pm 19, 1 N$ en $V = \pm 15 m \cdot s^{- 1}$ . Blocs : zone morte de seuil $X_{0}$ ( $Y = 0$ si $∣ X ∣ \leq X_{0}$ , $Y = X \mp X_{0}$ sinon) ; Sgn ( $\pm 1$ , 0 en 0).

{ Figure E — Les cinq modèles proposés (ZM : zone morte de seuil $F_{0}$ ).}

Q21. Choisir et justifier le modèle ; identifier ses paramètres.

Corrigé

Q13. Système isolé : $E = {1 + 2}$ (induit X et miroir, encastrés l'un sur l'autre), en translation rectiligne selon $X$ par rapport à $R$ , galiléen. Actions extérieures : poids de (1) et de (2), selon $- Z$ ; action du guidage ${T_{0 \to 1}}$ ; action motrice du MLS $F_{m} X$ (action à distance de l'inducteur, lié à (0), sur l'induit). L'action ${T_{2 \to 1}}$ est intérieure à $E$ et n'intervient pas.

Hypothèse : liaison glissière 0/1 parfaite. Elle ne transmet aucun effort dans sa direction de mobilité : $X_{01} = 0$ (ce qui ne veut pas dire que ${T_{0 \to 1}}$ est nul : il reste cinq composantes).

Théorème : théorème de la résultante dynamique appliqué à $E$ , projeté sur $X$ . Tous les points de $E$ ont l'accélération $x ¨ X$ , donc $R_{d} (E / R) = (m_{1} + m_{2}) x ¨ X$ ; en projection, le poids ne contribue pas et $X_{01} = 0$ :

$F_{m} (t) = (m_{1} + m_{2}) \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} (t) .$

Q14. $F_{m}$ est proportionnelle à l'accélération ; son module est maximal quand $∣ x ¨ ∣ = a_{ma x}$ , c'est-à-dire en phase d'accélération $0 \leq t \leq t_{1} = 0, 05 s$ (ou, au signe près, en décélération $t_{2} \leq t \leq t_{f}$ ). En phase d'usinage ( $t_{1} < t < t_{2}$ ), $F_{m} = 0$ dans ce modèle sans frottement. Sur $[0, t_{1}]$ :

$F_{m} = (m_{1} + m_{2}) a_{ma x} = 10 \times 20 = 200 N .$

Conclusion (exigence 1.3.2) : $200 N < F_{m - ma x} = 1000 N$ : le moteur produit l'effort nécessaire pour $a_{ma x} = 20 m \cdot s^{- 2}$ avec un coefficient de sécurité de 5 (réserve disponible pour les frottements et les charges non modélisés).

Q15. Une glissière parfaite de direction $X$ ne transmet ni force selon $X$ ; elle transmet les deux autres composantes de résultante et les trois composantes de moment, en tout point :

${T_{0 \to 1}} = {R_{0 \to 1} = Y_{01} Y + Z_{01} Z M_{M, 0 \to 1} = L_{01} X + M_{01} Y + N_{01} Z}_{M} .$

Q16. Démarche. On isole $E = {1 + 2}$ et on applique le principe fondamental de la dynamique (et non de la statique : l'axe accélère) au point $M$ , dans $R$ galiléen.

Torseur dynamique. Le mouvement est une translation : $Γ (G_{1}) = Γ (G_{2}) = x ¨ X$ et le moment dynamique en $M$ vaut $δ (M, E / R) = M G_{1} \land m_{1} x ¨ X + M G_{2} \land m_{2} x ¨ X$ , avec $M G_{2} = - (l + b) Y + a Z$ . Avec $Y \land X = - Z$ et $Z \land X = Y$ :

$δ (M, E / R) = m_{2} a x ¨ Y + [m_{1} l + m_{2} (l + b)] x ¨ Z .$

Moments en $M$ des actions extérieures. Poids : $M G_{1} \land (- m_{1} g Z) = m_{1} g l X$ et $M G_{2} \land (- m_{2} g Z) = m_{2} g (l + b) X$ . Force motrice : $M G_{1} \land F_{m} X = l F_{m} Z$ . Guidage : $L_{01} X + M_{01} Y + N_{01} Z$ .

Théorème de la résultante dynamique : selon $X$ on retrouve Q13 ; selon $Y$ : $Y_{01} = 0$ ; selon $Z$ : $Z_{01} - (m_{1} + m_{2}) g = 0$ .

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