Corrigé Mines-Ponts 2026 Sciences industrielles PSI — Partie 7 (Q22 à Q26) : Modèle de Park du moteur linéaire synchrone et boucle de courant corrigée par PI

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Sciences industrielles PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Après transformation de Park, le MLS équivaut à deux machines à courant continu (Annexe 5, résultats admis) :

Machine 1	Machine 2
$u_{1} = R i_{1} + \frac{d φ _{1}}{d t} - e_{1}$	$u_{2} = R i_{2} + \frac{d φ _{2}}{d t} + e_{2}$
[6pt] $φ_{1} = L_{1} i_{1} + Φ$	$φ_{2} = L_{2} i_{2}$
$e_{1} = K φ_{2} V$	$e_{2} = K φ_{1} V$
$F_{1} = K φ_{2} i_{1}$	$F_{2} = K φ_{1} i_{2}$

$R$ : résistance des deux machines ; $Φ$ : flux constant des aimants ; $V = x ˙$ ; force motrice $F_{m} = F_{2} - F_{1}$ . Pôles lisses : $L_{1} = L_{2} = L$ .

Exigences : 1.3.3.1 erreur statique nulle ; 1.3.3.2 temps de réponse à 5 % optimal sans dépassement. Cahier des charges de la boucle de courant : erreur statique nulle pour $i_{c} (t) = I_{0} u (t)$ ; erreur statique nulle après une perturbation en échelon ; $t_{5%}$ optimal sans dépassement. Correcteur : $C_{I} (p) = K_{I} (1 + \frac{1}{T _{I} p})$ .

{ Figure F — Schéma-blocs du pilotage en courant (Annexe 5).}

Q22. Pôles lisses : montrer que $F_{m} = A i_{2}$ ; exprimer $A$ .
Q23. Par les pertes Joule des deux machines, justifier le choix $i_{1} = 0$ .
Q24. Avec $i_{1} = 0$ : $H_{e ˊ l ec} (p)$ en fonction de $R$ et $L$ , forme canonique, constante de temps $τ_{e}$ .
Q25. Nommer et justifier la correction choisie ; exigence réglée.
Q26. $C_{I}$ réglé pour compenser $τ_{e}$ : montrer que $H_{B F} (p)_{E_{2} = 0}$ est du premier ordre ; $K_{B F i}$ , $τ_{B F i}$ en fonction de $L$ et $K_{I}$ ; réglage de la rapidité ; conclure sur 1.3.3.2.

Corrigé

Q22. Par définition, $F_{m} = F_{2} - F_{1} = K φ_{1} i_{2} - K φ_{2} i_{1}$ . Avec les flux de l'annexe et $L_{1} = L_{2} = L$ :

$F_{m} = K (L i_{1} + Φ) i_{2} - K (L i_{2}) i_{1} = K Φ i_{2} .$

Les termes en $K L i_{1} i_{2}$ se compensent exactement grâce à l'hypothèse de pôles lisses (pour des pôles saillants, il subsisterait une force de réluctance proportionnelle à $L_{1} - L_{2}$ ). Donc

$F_{m} (t) = A i_{2} (t) avec A = K Φ,$

constante puisque $Φ$ (flux des aimants) l'est. C'est l'analogue de la relation couple-courant $C = k i$ d'une machine à courant continu, d'où le pilotage de la force par le courant $i_{2}$ . (Numériquement, la documentation donne $A = 50 N \cdot A^{- 1}$ .)

Q23. Les deux enroulements équivalents, de résistance $R$ , dissipent par effet Joule

$P_{J} = R i_{1}^{2} + R i_{2}^{2} .$

D'après Q22, la force motrice ne dépend que de $i_{2}$ : le courant $i_{1}$ ne produit aucune force, il ne fait qu'ajouter des pertes $R i_{1}^{2} \geq 0$ . Pour une force demandée (donc $i_{2}$ imposé), les pertes sont minimales pour $i_{1} = 0$ : on travaille avec $i_{1} (t) = 0$ , ce qui maximise la force par ampère (et limite l'échauffement).

Q24. Avec $i_{1} = 0$ , $φ_{2} = L i_{2}$ et l'équation de la machine 2 s'écrit

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