Corrigé Mines-Ponts 2026 Sciences industrielles PSI — Parties 4 et 5 (Q8 à Q12) : Trapèze de vitesse, durée de gravure et masse équivalente : vis à billes contre moteur linéaire

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Sciences industrielles PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Désormais, seul l'axe X est étudié. La gravure se fait à vitesse constante dans la zone utile ; la vitesse de l'induit X suit un « trapèze symétrique » (figure 5) : phase 1-2 d'accélération $a_{ma x}$ jusqu'à $t_{1}$ , phase 2-3 d'usinage à $V_{ma x}$ jusqu'à $t_{2}$ , phase 3-4 de décélération $- a_{ma x}$ jusqu'à $t_{f}$ ; puis transfert 4-5 de 1 mm selon $Y$ vers la ligne suivante. La zone utile (50 cm) est encadrée de 10 mm d'accélération et 10 mm de décélération : distance parcourue $d = 52 cm$ par ligne. Données : $V_{ma x} = 1 m \cdot s^{- 1}$ , $a_{ma x} = 20 m \cdot s^{- 2}$ . Même schéma verticalement ; $N$ lignes horizontales et $N$ verticales ; transferts de durée négligée.

Exigences : 1.2.1 durée de gravure au plus 10 minutes ; 1.2.2 plaque gravée d'au plus $50 \times 50 c m^{2}$ ; 1.3.1 masse à déplacer (axe X) : 6 kg ; 1.3.2 $a_{ma x} = 20 m \cdot s^{- 2}$ et $V_{ma x} = 1 m \cdot s^{- 1}$ .

{ Figure 5 — Trapèze de vitesse et trajet d'une ligne (marges de 10 mm autour de la zone utile).}

Comparaison (partie 5) avec une solution classique : moteur rotatif et vis à billes. Le rotor et la vis (1) tournent à $ω$ autour de $x$ , $I_{1} = 2 \times 1 0^{- 4} kg \cdot m^{2}$ ; l'écrou et le chariot (2), de masse $m_{2} = 6 kg$ , translatent à $V$ ; pas $p = 20 mm \cdot t r^{- 1}$ .

{ Schéma du cahier réponses (Q10) — (1) vis en pivot d'axe $X$ avec (0), (2) écrou en liaison hélicoïdale avec (1) et en glissière avec (0) en $M$ ; $V (M, 2/0) = V x$ , $Ω (1/0) = ω x$ .}

Q8. Justifier le trapèze plutôt qu'un échelon de vitesse ; tracer l'accélération et la position de l'induit X.
Q9. Exprimer $t_{f} (d, a_{ma x}, V_{ma x})$ , puis la durée $T (N, t_{f})$ de gravure d'une plaque ; applications numériques ; conclure sur 1.2.1 et 1.2.2.
Q10. Masse équivalente $m_{e q 1}$ de (1+2) ramenée à (2) : expression et valeur.
Q11. Pour le MLS (induit X de masse $m_{1} = 4 kg$ et miroir de masse $m_{2} = 6 kg$ en translation) : masse totale $m_{e q 2}$ en mouvement.
Q12. Comparer $m_{e q 1}$ et $m_{e q 2}$ ; conclure sur 1.3.1 et 1.3.2.

Corrigé

Q8. Pourquoi un trapèze. Un échelon de vitesse ferait passer la vitesse de 0 à $V_{ma x}$ instantanément : l'accélération serait infinie (impulsion de Dirac), donc l'effort moteur aussi (théorème de la résultante dynamique, $F = m a$ ). C'est physiquement irréalisable (saturation du moteur, qui ne suivrait pas la consigne) et, même approché, cela produit des chocs et excite les modes de vibration de l'axe, ce qui dégrade la gravure. Le trapèze borne l'accélération à $a_{ma x}$ , donc l'effort à $m a_{ma x}$ , tout en garantissant la vitesse constante $V_{ma x}$ exigée dans la zone utile (phase 2-3), les phases d'accélération et de décélération étant rejetées dans les marges de 10 mm.

Profils. L'accélération est la dérivée de la vitesse : créneaux $+ a_{ma x}$ sur $[0, t_{1}]$ , $0$ sur $[t_{1}, t_{2}]$ , $- a_{ma x}$ sur $[t_{2}, t_{f}]$ . La position est la primitive de la vitesse (nulle en 0) : arc de parabole convexe tangent à l'axe en 0, puis droite de pente $V_{ma x}$ , puis arc de parabole concave qui se raccorde à tangente horizontale en $t_{f}$ . La position est continue et à dérivée continue (la vitesse est continue) : pas de point anguleux aux raccords.

Q9. Durée d'une ligne. Durée d'accélération : $t_{1} = V_{ma x} / a_{ma x}$ ; par symétrie, la décélération dure aussi $t_{f} - t_{2} = V_{ma x} / a_{ma x}$ . La distance parcourue est l'aire sous la courbe de vitesse (intégrale de $V (t)$ ) : aire d'un trapèze de grande base $t_{f}$ et de petite base $t_{2} - t_{1} = t_{f} - 2 t_{1}$ ,

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