Corrigé Mines-Ponts 2026 Sciences industrielles PSI — Parties 8 et 9 (Q27 à Q35) : Boucle de vitesse PI, boucle de position à avance de phase et synthèse des performances

Modèle mécanique. $H_{mec}(p)=V(p)/F_m(p)$ est la partie linéaire du modèle retenu en Q21 (théorème de la résultante dynamique, frottement visqueux ; le frottement sec est traité comme une perturbation) :

$$H_{mec}(p)=\frac{1}{M_{eq}p+f}=\frac{1/f}{1+{\tau }_{m}p},\text{avec}{\tau }_m=\frac{M_{eq}}{f}=\frac{10}{1,2}\approx 8,3\mathrm{s}$$

($M_{eq}=10\mathrm{kg}$, $f=1,2\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}$).

Q27. Avec $C_V=K_V$, la fonction de transfert en boucle ouverte de la boucle de vitesse, $H_{BOV}(p)=\frac{K_{V}A/f}{1+{\tau }_{m}p}$, est de classe 0 (aucune intégration). Pour un échelon $v_c=v_{0}u(t)$, le théorème de la valeur finale donne une erreur statique

$${\epsilon }_s=\underset{p\to 0}{\lim }p\frac{1}{1+H_{BOV}(p)}\frac{v_0}{p}=\frac{v_0}{1+K_{V}A/f}\ne 0.$$

On peut la réduire en augmentant $K_V$, jamais l'annuler (et un gain trop grand dégrade la stabilité une fois les autres constantes de temps prises en compte). Le frottement sec, perturbation constante entrant après le correcteur, créerait de plus une erreur permanente. L'exigence « erreur statique nulle » n'est pas satisfaite.

Q28. Le correcteur PI s'écrit $C_V(p)=K_V\frac{1+T_{V}p}{T_{V}p}$ : il contient une intégration, qui rend la boucle ouverte de vitesse de classe 1. Si la boucle fermée est stable, l'erreur statique vis-à-vis d'un échelon de consigne est nulle ; l'intégration étant placée dans le correcteur, en amont du point d'entrée des perturbations (frottement sec), l'erreur due à une perturbation en échelon est également nulle. Le choix est pertinent pour la précision, sous réserve de stabilité (vérifiée en Q29 : la boucle fermée est un premier ordre).

Choix de $T_V$. En prenant $T_V={\tau }_m=M_{eq}/f$ (compensation du pôle mécanique),

$$H_{BOV}(p)=K_V\frac{1+{\tau }_{m}p}{{\tau }_{m}p}\cdot A\cdot \frac{1/f}{1+{\tau }_{m}p}=\frac{K_{V}A}{f{\tau }_{m}p}=\frac{A}{M_{eq}}\cdot \frac{K_V}{p},$$

ce qui est bien la forme simplifiée annoncée avec $c=A/M_{eq}=50/10=5\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}\cdot {\mathrm{A}}^{-1}$ : la donnée de l'énoncé confirme le modèle $H_{mec}$ adopté.

Q29. Retour unitaire :

$$\frac{V(p)}{V_c(p)}=\frac{c{K}_V/p}{1+c{K}_V/p}=\frac{1}{1+\frac{p}{c{K}_V}}⟹\boxed{K_X=1,{\tau }_X=\frac{1}{c{K}_V}}.$$

Rapidité. Pour un premier ordre, le gain en boucle fermée vaut $-3\mathrm{dB}$ exactement à la pulsation de coupure ${\omega }_c=1/{\tau }_X=c{K}_V$. L'exigence ${\omega }_c=60\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ impose

$$K_V=\frac{60}{c}=\frac{60}{5}=12\mathrm{A}\cdot \mathrm{s}\cdot {\mathrm{m}}^{-1},{\tau }_X=\frac{1}{60}\approx 16,7\mathrm{ms}.$$

Unités : $c{K}_V$ est en $\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}\cdot {\mathrm{A}}^{-1}\times \mathrm{A}\cdot \mathrm{s}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}={\mathrm{s}}^{-1}$, comme une pulsation.