Corrigé X 2025 Maths B MP — Deuxième partie (10a à 13) : Entrelacement des racines des polynômes orthogonaux et positivité des coefficients

Sujet officiel du concours X, session 2025, épreuve Maths B MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de la première moitié : poids $f > 0$ sur $[- 1, 1]$ , $⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P Q f$ , $D ⊥ R_{n - 1} [X]$ de racines $r_{1} > \dots > r_{n}$ , $f_{j} (t) = \prod_{i \leq j} (r_{i} - t)$ , $⟨ P, Q ⟩_{j} = ⟨ P, Q f_{j} ⟩$ , et, pour $j$ fixé, $q_{0}, \dots, q_{n - j}$ unitaires, $de g q_{i} = i$ , deux à deux orthogonaux pour $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{j}$ , $q_{n - j} = \prod_{i > j} (X - r_{i})$ , avec $q_{i} - X q_{i - 1} = a_{i} q_{i - 1} + b_{i} q_{i - 2}$ et $b_{i} < 0$ ( $2 \leq i \leq n - j$ ).

Q10a. Pour $i \in {0, 1}$ , $q_{i}$ a exactement $i$ racines réelles.
Q10b. Pour $1 \leq i \leq n - j$ , $q_{i}$ a $i$ racines réelles simples, et entre deux racines consécutives de $q_{i}$ se trouve une unique racine de $q_{i - 1}$ .
Q10c. $q_{i} (r_{j + 1}) > 0$ pour $0 \leq i \leq n - j - 1$ .

On définit $α_{i}$ par $q_{i + 1} (r_{j + 1}) + α_{i} q_{i} (r_{j + 1}) = 0$ , puis $p_{i} = \frac{q _{i + 1} + α _{i} q _{i}}{X - r _{j + 1}}$ , et $c_{0}, \dots, c_{i}$ ses coordonnées dans $(q_{0}, \dots, q_{i})$ .

Q11a. Pour $0 \leq ℓ \leq i$ , $q_{i + 1} + α_{i} q_{i}$ est orthogonal à $\frac{q _{ℓ} - q _{ℓ} ( r _{j + 1} )}{X - r _{j + 1}}$ pour $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{j}$ .
Q11b. $c_{ℓ} = γ_{ℓ} c_{0}$ avec $γ_{ℓ} > 0$ , puis $c_{ℓ} > 0$ .
Q12. Si $j \leq n - 2$ , $p_{i}$ est orthogonal à $R_{i - 1} [X]$ pour $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{j + 1}$ .
Q13. Soit $B = (a_{0}, \dots, a_{n})$ la base orthogonale unitaire échelonnée de $(R_{n} [X], ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ . Pour $0 \leq j \leq n - 1$ , les coefficients de $\prod_{ℓ = j + 1}^{n} (X - r_{ℓ})$ dans $B$ sont strictement positifs.

Corrigé

On garde $d = n - j - 1$ : $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{j}$ est un produit scalaire sur $R_{d} [X]$ (Q7d), et, pour $0 \leq i \leq n - j$ , $q_{i}$ est orthogonal à $R_{i - 1} [X]$ pour la forme bilinéaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{j}$ (Q8a, Q8b). On note $r = r_{j + 1}$ .

Q10a. $q_{0} = 1$ n'a aucune racine ; $q_{1} = X - β$ (unitaire de degré $1$ ) a exactement une racine réelle, $β$ . (Ceci vaut pour tout $j \leq n - 1$ , puisque $n - j \geq 1$ .)

Q10b. On démontre par récurrence sur $i \in {1, \dots, n - j}$ l'assertion $H_{i}$ : « $q_{i}$ a $i$ racines réelles distinctes, toutes simples, et, si $i \geq 2$ , chaque intervalle ouvert délimité par deux racines consécutives de $q_{i}$ contient exactement une racine de $q_{i - 1}$ ».

$H_{1}$ résulte de Q10a (la condition d'entrelacement est vide).

Supposons $H_{i - 1}$ pour un $i$ tel que $2 \leq i \leq n - j$ , et notons $y_{1} < \dots < y_{i - 1}$ les racines de $q_{i - 1}$ .

Position des racines de $q_{i - 2}$ . Si $i = 2$ , $q_{0} = 1 > 0$ . Si $i \geq 3$ , $H_{i - 1}$ fournit une racine de $q_{i - 2}$ dans chacun des $i - 2$ intervalles $] y_{k}, y_{k + 1} [$ ; ce sont $i - 2$ racines distinctes du polynôme $q_{i - 2}$ de degré $i - 2$ , donc toutes ses racines, simples : $q_{i - 2} = \prod_{k = 1}^{i - 2} (X - z_{k})$ avec $y_{k} < z_{k} < y_{k + 1}$ .

Signe de $q_{i - 2} (y_{k})$ . Les racines $z_{ℓ}$ supérieures à $y_{k}$ sont $z_{k}, \dots, z_{i - 2}$ , au nombre de $i - 1 - k$ . Donc $q_{i - 2} (y_{k}) = \prod_{ℓ} (y_{k} - z_{ℓ})$ est non nul, du signe de $(- 1)^{i - 1 - k}$ (formule encore vraie si $i = 2$ , $k = 1$ ).

Signe de $q_{i} (y_{k})$ . En évaluant la relation de Q9a en $y_{k}$ , où $q_{i - 1}$ s'annule :

$q_{i} (y_{k}) = (y_{k} + a_{i}) q_{i - 1} (y_{k}) + b_{i} q_{i - 2} (y_{k}) = b_{i} q_{i - 2} (y_{k}),$

qui est non nul et du signe de $- (- 1)^{i - 1 - k} = (- 1)^{i - k}$ puisque $b_{i} < 0$ (Q9c). En particulier $q_{i} (y_{i - 1}) < 0$ et les signes alternent.

Comptage. Par le théorème des valeurs intermédiaires :

$q_{i}$ est unitaire, donc $q_{i} (x) \to + \infty$ quand $x \to + \infty$ , et $q_{i} (y_{i - 1}) < 0$ : une racine dans $] y_{i - 1}, + \infty [$ ;
pour $1 \leq k \leq i - 2$ , $q_{i} (y_{k})$ et $q_{i} (y_{k + 1})$ sont de signes opposés : une racine dans $] y_{k}, y_{k + 1} [$ ;
$q_{i} (x)$ est du signe de $(- 1)^{i}$ quand $x \to - \infty$ , et $q_{i} (y_{1})$ du signe de $(- 1)^{i - 1}$ : une racine dans $] - \infty, y_{1} [$ .

Cela fait au moins $i$ racines distinctes, situées dans $i$ intervalles disjoints ; $q_{i}$ étant de degré $i$ , ce sont toutes ses racines, elles sont simples, et il y en a exactement une par intervalle. En les notant $x_{1} < \dots < x_{i}$ , on a donc

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