Corrigé X 2025 Maths B MP — Deuxième partie (7a à 9c) : Quadrature de Gauss, produits scalaires modifiés et relation à trois termes

Sujet officiel du concours X, session 2025, épreuve Maths B MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$I = [- 1, 1]$ , $n \geq 2$ , $f : I \to] 0, + \infty [$ continue et $⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (x) Q (x) f (x) d x$ . $D \in R_{n} [X]$ a $n$ racines réelles distinctes $r_{1} > \dots > r_{n}$ dans $I$ et $D \in R_{n - 1} [X]^{⊥}$ . On pose $f_{0} = 1$ et $f_{j} (t) = \prod_{i = 1}^{j} (r_{i} - t)$ pour $1 \leq j \leq n - 1$ , puis $⟨ P, Q ⟩_{j} = ⟨ P, Q f_{j} ⟩$ .

Q7a. Il existe $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ réels tels que $\int_{- 1}^{1} P f = \sum_{i} λ_{i} P (r_{i})$ pour $P \in R_{n - 1} [X]$ .
Q7b. Cette formule, notée (1), vaut pour $P \in R_{2 n - 1} [X]$ (diviser par $D$ ).
Q7c. Avec $\prod_{j \neq = i} (X - r_{j})^{2}$ , montrer $λ_{i} > 0$ .
Q7d. $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{j}$ est un produit scalaire sur $R_{n - j - 1} [X]$ pour $0 \leq j \leq n - 1$ .

Dans Q8 à Q12, $j \in {0, \dots, n - 1}$ est fixé.

Q8a. Existence et unicité de $q_{0}, \dots, q_{n - j - 1}$ unitaires, $de g q_{i} = i$ , deux à deux orthogonaux pour $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{j}$ .
Q8b. $q_{n - j} = \prod_{i = j + 1}^{n} (X - r_{i})$ est l'unique polynôme unitaire de degré $n - j$ orthogonal à $q_{0}, \dots, q_{n - j - 1}$ .
Q9a. Pour $2 \leq i \leq n - j$ , $q_{i} - X q_{i - 1} = a_{i} q_{i - 1} + b_{i} q_{i - 2}$ .
Q9b. $b_{i} ⟨ q_{i - 2}, q_{i - 2} ⟩_{j} = - ⟨ X q_{i - 1}, q_{i - 2} ⟩_{j}$ .
Q9c. $b_{i} < 0$ .

Corrigé

Deux faits utilisés partout.

(i) $⟨ P, Q ⟩_{j} = \int_{- 1}^{1} P Q f_{j} f$ est une forme bilinéaire symétrique sur $R [X]$ tout entier, et l'on a $⟨ X P, Q ⟩_{j} = ⟨ P, X Q ⟩_{j}$ (même intégrande). (ii) Si $g$ est continue, positive et non identiquement nulle sur $[- 1, 1]$ , alors $\int_{- 1}^{1} g > 0$ (intégrale nulle d'une fonction continue positive).

Q7a. Les $r_{i}$ étant distincts, l'application $R_{n - 1} [X] \to R^{n}$ , $P \mapsto (P (r_{1}), \dots, P (r_{n}))$ est linéaire et injective (un polynôme de degré $\leq n - 1$ à $n$ racines est nul), donc bijective par égalité des dimensions. Soit $L_{i}$ le polynôme de Lagrange : $L_{i} \in R_{n - 1} [X]$ , $L_{i} (r_{k}) = δ_{ik}$ . Tout $P \in R_{n - 1} [X]$ s'écrit $P = \sum_{i} P (r_{i}) L_{i}$ (les deux membres ont mêmes valeurs aux $r_{k}$ ). Par linéarité de l'intégrale,

$\int_{- 1}^{1} P (x) f (x) d x = i = 1 \sum n λ_{i} P (r_{i}), λ_{i} = \int_{- 1}^{1} L_{i} (x) f (x) d x .$

Q7b. $D$ est non nul (l'énoncé le sous-entend en lui attribuant exactement $n$ racines), de degré $\leq n$ avec $n$ racines distinctes, donc de degré $n$ , donc $D = c \prod_{i = 1}^{n} (X - r_{i})$ avec $c \neq = 0$ . Soit $P \in R_{2 n - 1} [X]$ et $P = D S + R$ sa division euclidienne par $D$ : $de g R \leq n - 1$ et, comme $de g P \leq 2 n - 1$ , $de g S \leq n - 1$ . Alors

$\int_{- 1}^{1} P f = ⟨ D, S ⟩ + \int_{- 1}^{1} R f = 0 + i = 1 \sum n λ_{i} R (r_{i}),$

car $S \in R_{n - 1} [X]$ et $D \in R_{n - 1} [X]^{⊥}$ , puis Q7a appliquée à $R$ . Enfin $P (r_{i}) = D (r_{i}) S (r_{i}) + R (r_{i}) = R (r_{i})$ . D'où (1).

Q7c. Soit $P_{i} = \prod_{j \neq = i} (X - r_{j})^{2}$ , de degré $2 n - 2 \leq 2 n - 1$ . On a $P_{i} (r_{k}) = 0$ pour $k \neq = i$ et $P_{i} (r_{i}) = \prod_{j \neq = i} (r_{i} - r_{j})^{2} > 0$ . Par (1),

$\int_{- 1}^{1} P_{i} (x) f (x) d x = λ_{i} P_{i} (r_{i}) .$

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