Corrigé X 2025 Maths B MP — Première partie (1a à 6) : Interpolation d'Hermite, quotient Q(f,P) et fonctions absolument monotones

Sujet officiel du concours X, session 2025, épreuve Maths B MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $a < b$ . Une fonction $h$ de classe $C^{\infty}$ sur $[a, b]$ s'annule à l'ordre $N$ dans $[a, b]$ s'il existe des points $a \leq c_{1} < \dots < c_{m} \leq b$ et des entiers $k_{i} \geq 1$ de somme $N$ avec $h^{(k)} (c_{i}) = 0$ pour $0 \leq k < k_{i}$ (zéros comptés avec multiplicité).

$f$ est $C^{\infty}$ sur $[a, b]$ ; $P \neq = 0$ est scindé, de racines $a < t_{1} < \dots < t_{m} < b$ , et $k_{i}$ est la multiplicité de $t_{i}$ . $H (f, P)$ est le polynôme de degré $< de g P$ qui a les mêmes dérivées que $f$ en chaque $t_{i}$ jusqu'à l'ordre $k_{i} - 1$ ; hors des $t_{i}$ , $Q (f, P) (t) = \frac{f ( t ) - H ( f , P ) ( t )}{\prod _{i} ( t - t _{i} ) ^{k_{i}}}$ . Pour $t \in / {t_{1}, \dots, t_{m}}$ , $Q_{t} (s) = f (s) - H (f, P) (s) - Q (f, P) (t) \prod_{i} (s - t_{i})^{k_{i}}$ . $h$ est absolument monotone si elle est $C^{\infty}$ et si toutes ses dérivées (elle comprise) sont positives sur $[a, b]$ .

Q1a. Si $h$ s'annule à l'ordre $N + 1$ , $h^{'}$ s'annule à l'ordre $N$ .
Q1b. Dans ce cas, $h^{(N)}$ s'annule en un point de $[a, b]$ .
Q2a. Si $de g Q < de g P$ et $Q^{(k)} (t_{i}) = 0$ pour $k < k_{i}$ , alors $Q = 0$ .
Q2b. Existence et unicité de $H (f, P)$ .
Q3a. Avec $g = f - H (f, P)$ , formule intégrale de $f (x) - H (f, P) (x)$ en facteur de $(x - t_{i})^{k_{i}}$ .
Q3b. $Q (f, P)$ se prolonge de façon unique en une fonction $C^{\infty}$ sur $[a, b]$ .
Q4a. $Q (f, (X - s_{0})^{n}) (s_{0}) = f^{(n)} (s_{0}) / n!$ .
Q4b. Pour $P_{1}, P_{2}$ unitaires scindés dans $] a, b [$ : formules de $H (f, P_{1} P_{2})$ et $Q (f, P_{1} P_{2})$ .
Q5a. $Q_{t}$ s'annule à l'ordre $de g P + 1$ sur $[min (t, t_{1}), max (t, t_{m})]$ .
Q5b. Si $P$ est unitaire, $f (t) - H (f, P) (t) = \frac{f ^{(d e g P)} ( ξ )}{( d e g P )!} P (t)$ pour un $ξ$ de cet intervalle.
Q6. Si $f$ est absolument monotone, $Q (f, P)$ l'est aussi.

Corrigé

Q1a. Soit $a \leq c_{1} < \dots < c_{m} \leq b$ et $k_{1}, \dots, k_{m} \geq 1$ , $\sum k_{i} = N + 1$ , tels que $h^{(k)} (c_{i}) = 0$ pour $0 \leq k < k_{i}$ . On fabrique deux sortes de zéros de $h^{'}$ .

Zéros hérités. Si $k_{i} \geq 2$ , on a $(h^{'})^{(k)} (c_{i}) = h^{(k + 1)} (c_{i}) = 0$ pour $0 \leq k < k_{i} - 1$ : $c_{i}$ est un zéro de $h^{'}$ d'ordre $k_{i} - 1 \geq 1$ .

Zéros de Rolle. Pour $1 \leq i \leq m - 1$ , $h (c_{i}) = h (c_{i + 1}) = 0$ (car $k_{i}, k_{i + 1} \geq 1$ ) ; $h$ est continue sur $[c_{i}, c_{i + 1}]$ et dérivable sur $] c_{i}, c_{i + 1} [$ , donc le théorème de Rolle fournit $d_{i} \in] c_{i}, c_{i + 1} [$ tel que $h^{'} (d_{i}) = 0$ . On lui attribue l'ordre $1$ .

Les points $d_{i}$ sont deux à deux distincts et distincts des $c_{ℓ}$ (ils sont strictement entre deux $c$ consécutifs). La somme des ordres vaut

$i = 1 \sum m (k_{i} - 1) + (m - 1) = (N + 1) - m + m - 1 = N .$

(Les $c_{i}$ avec $k_{i} = 1$ , d'ordre $0$ pour $h^{'}$ , sont simplement omis.) Cette famille de points n'est pas vide puisque $N \geq 1$ ; rangée par ordre croissant, elle est contenue dans $[a, b]$ et chaque point y porte un ordre $\geq 1$ : $h^{'}$ s'annule à l'ordre $N$ dans $[a, b]$ .

Q1b. Montrons par récurrence sur $p \in {0, \dots, N}$ que $h^{(p)}$ s'annule à l'ordre $N + 1 - p$ . Pour $p = 0$ c'est l'hypothèse. Si c'est vrai pour un $p \leq N - 1$ , on applique Q1a à la fonction $h^{(p)}$ (qui est $C^{\infty}$ ) avec l'entier $N - p \geq 1$ : $h^{(p + 1)}$ s'annule à l'ordre $N - p$ . Pour $p = N$ , $h^{(N)}$ s'annule à l'ordre $1$ : il existe un point $c = c_{1}$ avec $k_{1} = 1$ , c'est-à-dire $h^{(N)} (c) = 0$ , $c \in [a, b]$ .

Q2a. Comme $P \neq = 0$ est scindé de racines $t_{1}, \dots, t_{m}$ , et comme $k_{i}$ est le plus petit entier tel que $P^{(k_{i})} (t_{i}) \neq = 0$ , la caractérisation de la multiplicité par les dérivées dit que $t_{i}$ est racine de multiplicité exactement $k_{i}$ (avec $k_{i} \geq 1$ puisque $P (t_{i}) = 0$ ). Donc $P = c \prod_{i = 1}^{m} (X - t_{i})^{k_{i}}$ avec $c \neq = 0$ et $de g P = \sum_{i} k_{i}$ .

Si $Q^{(k)} (t_{i}) = 0$ pour $0 \leq k < k_{i}$ , la même caractérisation montre que $t_{i}$ est racine de $Q$ de multiplicité au moins $k_{i}$ , donc $(X - t_{i})^{k_{i}}$ divise $Q$ . Les polynômes $(X - t_{i})^{k_{i}}$ étant deux à deux premiers entre eux, leur produit divise $Q$ . Ce produit est de degré $de g P > de g Q$ : nécessairement $Q = 0$ .

Q2b. Posons $d = de g P = \sum_{i} k_{i}$ et considérons

$Φ : R_{d - 1} [X] \to R^{d}, R ⟼ (R^{(k)} (t_{i}))_{1 \leq i \leq m, 0 \leq k < k_{i}} .$

$Φ$ est linéaire (la dérivation et l'évaluation le sont). Son noyau est nul d'après Q2a. Comme $dim R_{d - 1} [X] = d = dim R^{d}$ , le théorème du rang montre que $Φ$ est un isomorphisme. Le polynôme $H (f, P) = Φ^{- 1} ((f^{(k)} (t_{i}))_{i, k})$ convient, et c'est le seul. (Si $P$ est une constante non nulle, $d = 0$ , $R_{- 1} [X] = {0}$ et $H (f, P) = 0$ : les conditions sont vides.)

On note que $H (f, P)$ et $Q (f, P)$ ne dépendent que des racines de $P$ et de leurs multiplicités : $H (f, c P) = H (f, P)$ et $Q (f, c P) = Q (f, P)$ pour $c \neq = 0$ . On notera $P = \prod_{i} (X - t_{i})^{k_{i}}$ le polynôme unitaire associé.

Q3a. La fonction $g = f - H (f, P)$ est $C^{\infty}$ sur $[a, b]$ et, par définition de $H (f, P)$ , $g^{(k)} (t_{i}) = 0$ pour $0 \leq k < k_{i}$ . La formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $k_{i} - 1$ en $t_{i}$ donne, pour $x \in [a, b]$ ,

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