Corrigé X 2025 Maths B MP — Quatrième partie (18a à 21) : Matrices symétriques positives, produit de Hadamard et fonctions de type positif sur la sphère

Sujet officiel du concours X, session 2025, épreuve Maths B MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$x \cdot y$ est le produit scalaire canonique de $R^{n}$ , $S^{n - 1}$ la sphère unité, $S_{n}^{+}$ l'ensemble des matrices symétriques $M \in M_{n} (R)$ telles que $X^{T} M X \geq 0$ pour tout $X$ . Pour $N \geq 2$ , $f : R \to R$ est de type positif en dimension $N$ si $(f (x_{i} \cdot x_{j}))_{i, j} \in S_{k}^{+}$ pour tous $k \geq 1$ et $x_{1}, \dots, x_{k} \in S^{N - 1}$ . $A ⊙ B = (a_{i, j} b_{i, j})$ est le produit de Hadamard. $T_{n}$ est le polynôme de Tchebychev : $T_{n} (cos θ) = cos (n θ)$ . On admet que $a_{n}^{(N /2 - 1)}$ (troisième partie) est de type positif en dimension $N$ dès que $N \geq 4$ . Un polynôme $P$ est $N$ -conductif si $H (f, P)$ (première partie, sur $[- 1, 1]$ ) est de type positif en dimension $N$ pour toute $f$ absolument monotone sur $[- 1, 1]$ .

Q18a. $U U^{T} \in S_{n}^{+}$ pour $U \in R^{n}$ .
Q18b. $A ⊙ (B + C) = A ⊙ B + A ⊙ C$ .
Q18c. Tout $M \in S_{n}^{+}$ s'écrit $\sum_{i = 1}^{n} d_{i} U_{i} U_{i}^{T}$ avec $d_{i} \geq 0$ .
Q18d. $A, B \in S_{n}^{+} \Rightarrow A ⊙ B \in S_{n}^{+}$ .
Q18e. Le produit de deux fonctions de type positif en dimension $N$ l'est aussi.
Q19. Les $T_{n}$ sont de type positif en dimension $2$ .
Q20. Si $P_{1}, P_{2}$ sont $N$ -conductifs et $P_{1}$ de type positif en dimension $N$ , alors $P_{1} P_{2}$ est $N$ -conductif.
Q21. Pour $N \geq 4$ , $n \geq 2$ , $r_{1} > \dots > r_{n}$ les racines (admises simples, dans $] - 1, 1 [$ ) de $a_{n}^{(N /2 - 1)}$ et $f$ absolument monotone sur $[- 1, 1]$ : $H (f, \prod_{i = 1}^{n} (X - r_{i}))$ est de type positif en dimension $N$ .

Corrigé

Un fait constamment utilisé.

$S_{n}^{+}$ est un cône convexe : si $M, M^{'} \in S_{n}^{+}$ et $α, β \geq 0$ , $α M + β M^{'}$ est symétrique et $X^{T} (α M + β M^{'}) X = α X^{T} M X + β X^{T} M^{'} X \geq 0$ . Par conséquent, une combinaison linéaire à coefficients positifs de fonctions de type positif en dimension $N$ est de type positif en dimension $N$ (la matrice associée est la même combinaison des matrices associées).

Q18a. $(U U^{T})^{T} = U U^{T}$ : la matrice est symétrique. Pour $X \in R^{n}$ , $X^{T} U U^{T} X = (U^{T} X)^{T} (U^{T} X) = (U^{T} X)^{2} \geq 0$ , car $U^{T} X$ est un réel. Donc $U U^{T} \in S_{n}^{+}$ .

Q18b. Coefficient par coefficient : $a_{i, j} (b_{i, j} + c_{i, j}) = a_{i, j} b_{i, j} + a_{i, j} c_{i, j}$ . On note aussi que $⊙$ est commutatif et que $(α A) ⊙ B = α (A ⊙ B)$ : le produit de Hadamard est bilinéaire.

Q18c. $M$ est symétrique réelle : par le théorème spectral, il existe $O$ orthogonale et $Δ = diag (μ_{1}, \dots, μ_{n})$ réelle telles que $M = O Δ O^{T}$ (c'est l'écriture $M = P^{T} Δ P$ de l'indication, avec $P = O^{T}$ inversible). Les $μ_{i}$ sont positifs : si $M X = μ_{i} X$ avec $X \neq = 0$ , $0 \leq X^{T} M X = μ_{i} ∥ X ∥^{2}$ (caractérisation spectrale des matrices symétriques positives). Avec $Δ = \sum_{i} μ_{i} E_{i} E_{i}^{T}$ ( $E_{i}$ vecteurs de la base canonique) et $U_{i} = O E_{i}$ (la $i$ -ème colonne de $O$ ) :

$M = O (i = 1 \sum n μ_{i} E_{i} E_{i}^{T}) O^{T} = i = 1 \sum n μ_{i} (O E_{i}) (O E_{i})^{T} = i = 1 \sum n d_{i} U_{i} U_{i}^{T}, d_{i} = μ_{i} \geq 0.$

Q18d. Écrivons (Q18c) $A = \sum_{i} d_{i} U_{i} U_{i}^{T}$ et $B = \sum_{ℓ} e_{ℓ} V_{ℓ} V_{ℓ}^{T}$ avec $d_{i}, e_{ℓ} \geq 0$ . Par bilinéarité (Q18b),

$A ⊙ B = i, ℓ \sum d_{i} e_{ℓ} (U_{i} U_{i}^{T}) ⊙ (V_{ℓ} V_{ℓ}^{T}) .$

Si $U = (u_{a})$ et $V = (v_{a})$ , le coefficient $(a, b)$ de $(U U^{T}) ⊙ (V V^{T})$ est $u_{a} u_{b} v_{a} v_{b} = w_{a} w_{b}$ où $W = (u_{a} v_{a})_{a}$ : donc $(U U^{T}) ⊙ (V V^{T}) = W W^{T} \in S_{n}^{+}$ (Q18a). $A ⊙ B$ est une combinaison à coefficients $d_{i} e_{ℓ} \geq 0$ d'éléments de $S_{n}^{+}$ : elle est dans $S_{n}^{+}$ (cône convexe).

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