Corrigé X 2025 Maths B MP — Troisième partie (14 à 17e) : Polynômes de Gegenbauer : série génératrice, récurrence et orthogonalité

Q14. Pour $|x|<1$ et $r\in \mathbb{R}$,

$$1-2rx+r^2=(r-x{)}^2+(1-x^2)>0.$$

L'application $u:(x,r)\mapsto 1-2rx+r^2$ est polynomiale, donc ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur l'ouvert $]-1,1{[}^2$, à valeurs dans $]0,+\infty [$, et $s\mapsto s^{-\lambda }=\exp (-\lambda \ln s)$ est ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $]0,+\infty [$. Par le théorème sur les composées d'applications de classe ${\mathcal{C}}^k$, $F_{\lambda }$ est ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $]-1,1{[}^2$.

Q15. Fixons $x\in ]-1,1[$ et posons $\rho =\sqrt{2}-1$. Pour $|r|<\rho$, on a $(|r|+1{)}^2<2$, soit $2|r|+r^2<1$.

Série du binôme. Pour $|u|<1$, $(1-u{)}^{-\lambda }={\sum }_{k\ge 0}{\gamma }_k{u}^k$ avec ${\gamma }_0=1$ et ${\gamma }_k=\frac{\lambda (\lambda +1)\cdots (\lambda +k-1)}{k!}>0$ : c'est le développement de $(1+y{)}^{\alpha }$ avec $\alpha =-\lambda$, $y=-u$, puisque $\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}(-1{)}^k={\gamma }_k$ ; la série converge absolument pour $|u|<1$ (rayon $1$).

Famille double. Pour $|r|<\rho$, posons $u=2rx-r^2$, de sorte que $F_{\lambda }(x,r)=(1-u{)}^{-\lambda }$ avec $|u|\le 2|r|+r^2<1$. Par la formule du binôme,

$$u^k=\sum _{p=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{p}\right)(2x{)}^{k-p}(-1{)}^p{r}^{k+p}.$$

Considérons la famille $w_{k,p}={\gamma }_k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{p}\right)(2x{)}^{k-p}(-1{)}^p{r}^{k+p}$, indexée par $\{(k,p)\in {\mathbb{N}}^2:p\le k\}$. Elle est sommable :

$$\sum _{k\ge 0}\sum _{p=0}^k|w_{k,p}|=\sum _{k\ge 0}{\gamma }_k(2|x||r|+r^2{)}^k\le \sum _{k\ge 0}{\gamma }_k(2|r|+r^2{)}^k<+\infty ,$$

puisque $2|r|+r^2<1$. Par le théorème de sommation par paquets : en groupant à $k$ fixé, la somme vaut ${\sum }_k{\gamma }_k{u}^k=F_{\lambda }(x,r)$ ; en groupant selon $n=k+p$ (paquets finis),

$$F_{\lambda }(x,r)=\sum _{n\ge 0}{b}_n(x)r^n,b_n(x)=\sum _{\begin{array}{c}k+p=n\\ 0\le p\le k\end{array}}{\gamma }_k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{p}\right)(2x{)}^{k-p}(-1{)}^p,$$

pour tout $r\in ]-\rho ,\rho [$. La fonction $r\mapsto F_{\lambda }(x,r)$ est donc développable en série entière sur $]-\rho ,\rho [$, et par unicité des coefficients, $a_n^{(\lambda )}(x)=b_n(x)$.

Q16a. Fixons $x$. En dérivant par rapport à $r$ :

$$\frac{\partial F_{\lambda }}{\partial r}(x,r)=-\lambda (2r-2x)(1-2rx+r^2{)}^{-\lambda -1},\text{donc}(1-2xr+r^2)\frac{\partial F_{\lambda }}{\partial r}=2\lambda (x-r)F_{\lambda }.$$

Sur $]-\rho ,\rho [$, la somme d'une série entière se dérive terme à terme : $\frac{\partial F_{\lambda }}{\partial r}(x,r)={\sum }_{m\ge 0}(m+1)a_{m+1}{r}^m$ (on écrit $a_m$ pour $a_m^{(\lambda )}(x)$). Le membre de gauche est le produit de ce développement par le polynôme $1-2xr+r^2$ ; le coefficient de $r^n$ y vaut

$$(n+1)a_{n+1}-2xn{a}_n+(n-1)a_{n-1}(\text{avec la convention }{a}_{-1}=0).$$

Celui du membre de droite vaut $2\lambda x{a}_n-2\lambda a_{n-1}$. Ces deux séries entières ont la même somme sur $]-\rho ,\rho [$ : par unicité des coefficients,

• pour $n=0$ : $a_1=2\lambda x{a}_0$ ;
• pour $n\ge 1$ : $(n+1)a_{n+1}=2(n+\lambda )x{a}_n-(n-1+2\lambda )a_{n-1}$, qui est la relation demandée.