Corrigé X 2025 Physique et SI MP — Physique, partie 1 (Q1 à Q10) : Flambement d'une structure élancée à ressorts : énergies de compression et de flexion, force-seuil, application à une barre d'acier

Sujet officiel du concours X, session 2025, épreuve Physique et SI MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Partie de physique (questions renumérotées à partir de 1). Pesanteur négligée.

Structure modèle : quatre ressorts identiques $(1)$ à $(4)$ , d'axes parallèles à $(O x)$ , de raideur $K$ et de longueur à vide $L_{0}$ , fixés aux coins de deux plaques carrées indéformables de côté $2 a$ (figure 1). L'état non déformé est la référence et l'origine des énergies.

{Figure 1 — Structure modèle non déformée : vue dans le plan $(O, x, y)$ et vue de dessus.}

Un opérateur impose au centre $B$ de la plaque supérieure un déplacement strictement vertical $B B^{'} = - Δ e_{x}$ , $Δ \geq 0$ , la plaque inférieure étant fixe (guidage en translation selon $(O x)$ , liaisons rotules aux centres des plaques). La structure peut se comprimer (b) ou fléchir (c), figure 2.

{Figure 2 — (a) référence ; (b) compression ; (c) flexion, en projection dans le plan $(O, x, y)$ (la structure est tridimensionnelle).}

Q1. Énergie élastique $E_{C}$ en compression (b), en fonction de $K$ et $Δ$ .

En flexion (c), les arcs $(A_{1}^{''} B_{1}^{''})$ , $(A B^{''})$ et $(A_{2}^{''} B_{2}^{''})$ sont des arcs de cercle de centre $Q$ ; l'arc $(A B^{''})$ garde la longueur $L_{0}$ ; $R = Q P^{''}$ et $θ = (Q B^{''}, Q A) \geq 0$ . Hypothèses : $Δ ≪ L_{0} ≪ R$ .

Q2. $θ$ et $R / L_{0}$ en fonction de $ε = Δ/ L_{0}$ .
Q3. Condition sur $ε$ pour que $Δ ≪ L_{0} ≪ R$ .
Q4. Énergie élastique $E_{F}$ en flexion, en fonction de $K$ , $L_{0}$ , $a$ et $Δ$ .
Q5. Allures de $E_{C} (ε)$ et $E_{F} (ε)$ sur les mêmes axes ; commentaire.
Q6. $N$ module de la force exercée par l'opérateur : force-seuil $N_{s}$ au-delà de laquelle la structure fléchit, en fonction de $K$ , $L_{0}$ , $a$ ; on note $Δ_{s}$ le déplacement correspondant et $ε_{s} = Δ_{s} / L_{0}$ .
Q7. Allure de $N (ε)$ ; valeur de $N$ pour $ε > ε_{s}$ ; commentaire.
Q8. Traduire la condition de Q3 sur $a / L_{0}$ ; commenter.
Q9. Une tige de section $S$ , de longueur $ℓ$ et de module d'Young $Y$ a pour raideur axiale $k = Y S / ℓ$ (1). Barre de section carrée $2 b \times 2 b$ , de longueur $L_{0}$ : $N_{s}$ en fonction de $Y$ , $L_{0}$ , $b$ (choix d'adaptation du modèle à justifier) ; valeur pour $Y = 200 GPa$ , $L_{0} = 1 m$ , $2 b = 1 cm$ .
Q10. Flexion dans un plan $(O, x, u)$ , $e_{u} = cos ϕ e_{y} + sin ϕ e_{z}$ : $N_{s}$ pour $ϕ = π /4$ ; peut-on prévoir le plan de flexion ( $ϕ = 0$ ou $π /4$ ) ?

Corrigé

Q1. En compression (b), la géométrie est conservée : les quatre ressorts sont raccourcis de $Δ$ . L'énergie potentielle élastique d'un ressort est $\frac{1}{2} K (ℓ - L_{0})^{2}$ , d'où

$E_{C} = 4 \times \frac{1}{2} K Δ^{2} = 2 K Δ^{2} .$

Q2. L'arc médian $(A B^{''})$ , de rayon $R$ et d'ouverture $θ$ , a pour longueur $L_{0} = R θ$ . Sa corde $A B^{''}$ est verticale (le point $B^{''} = B^{'}$ s'est déplacé verticalement de $Δ$ ) et vaut $A B^{''} = L_{0} - Δ = 2 R sin \frac{θ}{2}$ . Comme $R ≫ L_{0}$ , $θ = L_{0} / R ≪ 1$ et $sin \frac{θ}{2} \approx \frac{θ}{2} - \frac{θ ^{3}}{48}$ :

$L_{0} - Δ = \frac{2 L _{0}}{θ} (\frac{θ}{2} - \frac{θ ^{3}}{48}) = L_{0} (1 - \frac{θ ^{2}}{24}) ⟹ ε = \frac{θ ^{2}}{24},$

$θ = 24 ε = 2 6 ε, \frac{R}{L _{0}} = \frac{1}{θ} = \frac{1}{24 ε} .$

Le raccourcissement de la corde est du second ordre en $θ$ : une petite flèche absorbe un déplacement $Δ$ sans allonger l'arc.

Q3. $Δ ≪ L_{0}$ s'écrit $ε ≪ 1$ ; $L_{0} ≪ R$ s'écrit $24 ε ≪ 1$ , soit $ε ≪ \frac{1}{24} \approx 0, 04$ . La seconde condition, plus restrictive, entraîne la première :

$ε ≪ \frac{1}{24} .$

Q4. Les plaques, indéformables et perpendiculaires aux ressorts, restent portées par les rayons $(Q B^{''})$ et $(Q A)$ . Les ressorts $(1)$ et $(4)$ (côté $Q$ ) suivent des arcs de rayon $R - a$ , les ressorts $(2)$ et $(3)$ des arcs de rayon $R + a$ , de même ouverture $θ$ ; leurs longueurs sont $(R \mp a) θ = L_{0} \mp a θ$ . Deux ressorts sont raccourcis de $a θ$ , deux allongés de $a θ$ :

$E_{F} = 4 \times \frac{1}{2} K (a θ)^{2} = 2 K a^{2} θ^{2} = 2 K a^{2} \times 24 \frac{Δ}{L _{0}} ⟹ E_{F} = \frac{48 K a ^{2} Δ}{L _{0}} .$

Q5. $E_{C} = 2 K L_{0}^{2} ε^{2}$ est une parabole, $E_{F} = 48 K a^{2} ε$ une droite issue de l'origine. On pose $ε_{s} = 12 a^{2} / L_{0}^{2}$ (justifié en Q6) et $E_{0} = 288 K a^{4} / L_{0}^{2}$ : en variables réduites $u = ε / ε_{s}$ , $E_{C} / E_{0} = u^{2}$ et $E_{F} / E_{0} = 2 u$ .

Commentaire. Aux petits déplacements, $E_{C} < E_{F}$ : la compression, quadratique, coûte moins que la flexion, linéaire ; aux grands déplacements, c'est l'inverse. À déplacement imposé, la configuration d'équilibre stable est celle qui minimise l'énergie potentielle : la structure se comprime d'abord, puis fléchit. Les deux courbes se croisent en $ε = 24 a^{2} / L_{0}^{2} = 2 ε_{s}$ . Mais un état mixte (compression de $Δ_{c}$ puis flexion pour le reste) est encore moins coûteux : les ressorts sont alors raccourcis de $Δ_{c} \pm a θ$ , et les termes croisés s'annulent entre les deux côtés, d'où l'énergie $2 K Δ_{c}^{2} + 48 K a^{2} (Δ - Δ_{c}) / L_{0}$ . La courbe d'énergie effective suit la parabole jusqu'au point où sa tangente est parallèle à la droite $E_{F}$ , puis cette tangente (tirets).

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