Corrigé X 2025 Physique et SI MP — Physique, partie 2.1 (Q11 à Q15) : Cristal liquide smectique A : milieu continu, énergies élastiques de compression et de flexion des couches, longueur de pénétration

Sujet officiel du concours X, session 2025, épreuve Physique et SI MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Molécules en bâtonnets de diamètre $D \sim 0, 5 nm$ , de longueur $a_{0} \sim 5 nm$ et de direction $n$ . En phase smectique A, elles forment des couches d'épaisseur $a_{0}$ , les bâtonnets d'une couche étant parallèles entre eux et normaux à la couche ; les couches glissent les unes sur les autres (comportement fluide), un ensemble de bâtonnets d'une couche est élastique. État de référence (couches planes, parallèles à $(O, x, y)$ ) : origine des énergies. Pesanteur et fluctuations thermiques ignorées.

{Figure 3 — (a) couches de référence et bâtonnets ; (b) déformation locale : déplacement $u$ et orientation $n$ (angle $θ$ avec $(O z)$ ).}

Description continue du milieu (hypothèse $H_{u}$ ) : $u (M) = M M^{'} = u (y, z) e_{z}$ (2), $M$ point d'une couche au repos, $M^{'}$ son image ; $n (M)$ , localement normal à la couche, fait l'angle $θ$ avec $(O z)$ . Élément de volume : cube $D$ de côté $a_{0}$ , modélisé par un cube dont les arêtes sont des ressorts de raideur $K$ et de longueur à vide $a_{0}$ (figures 4 et 5).

{Figures 4 et 5 — Domaine $D$ et son modèle élastique : cube à arêtes-ressorts, en coupe et en perspective.}

Q11. Conditions sur $u (y, z)$ (et certaines de ses dérivées) et $a_{0}$ justifiant $H_{u}$ .

Désormais : hypothèse $H_{u}$ ; dans cette sous-partie, approximation linéaire, $∣ \partial u / \partial y ∣ ≪ 1$ et $∣ \partial u / \partial z ∣ ≪ 1$ .

Q12. $u$ indépendant de $y$ (extension ou compression simple) : montrer que $e_{E} = \frac{1}{2} B (\frac{\partial u}{\partial z})^{2}$ (3) ; $B$ en fonction de $K$ et $a_{0}$ .
Q13. Justifier que $B$ ne dépend pas de la taille choisie pour le domaine cubique.

Couches seulement fléchies (figure 6) : l'arc $(g^{'} f^{'})$ et les côtés $(A^{'} B^{'})$ , $(D^{'} C^{'})$ gardent la longueur $a_{0}$ ; $(D^{'} A^{'})$ et $(C^{'} B^{'})$ sont des arcs de cercle de centre $Q$ , comme $(g^{'} f^{'})$ ; $δ θ$ est l'angle entre $C^{'} D^{'}$ et $B^{'} A^{'}$ .

{Figure 6 — Déformation du domaine $D$ pour une couche seulement fléchie.}

Q14. Établir $e_{F, y} = \frac{1}{2} F (\frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}})^{2}$ (4) ; $F$ en fonction de $K$ et $a_{0}$ ; avec $F = λ^{2} B$ , exprimer $λ / a_{0}$ (on suppose que $\partial u / \partial y$ vérifie $H_{u}$ ).
Q15. On a aussi $e_{F, y} = \frac{1}{2} F (\frac{\partial n _{y}}{\partial y})^{2}$ (5), $n_{y} = n \cdot e_{y}$ , ce qui suggère $e_{F, z} = \frac{1}{2} F (\frac{\partial n _{y}}{\partial z})^{2}$ (6) : décrire, avec un dessin, la déformation associée.

Bilan admis :

$e = e_{E} + e_{F, y} + e_{F, z} = \frac{1}{2} B (1) (\frac{\partial u}{\partial z})^{2} + (2) λ^{2} ((\frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}})^{2} + (\frac{\partial ^{2} u}{\partial y \partial z})^{2}) (7)$

Corrigé

Q11. Le cristal liquide est discret : couches d'épaisseur $a_{0}$ , bâtonnets de diamètre $D < a_{0}$ . Décrire sa déformation par un champ continu $u (y, z)$ , et l'énergie d'un domaine $D$ de côté $a_{0}$ par ce champ, suppose que $u$ varie peu à l'échelle de $a_{0}$ : sur un domaine élémentaire, $u$ doit être bien approché par son développement au premier ordre, $u (y + η, z + ζ) \approx u (y, z) + η \frac{\partial u}{\partial y} + ζ \frac{\partial u}{\partial z}$ pour $∣ η ∣, ∣ ζ ∣ \leq a_{0}$ (déformation homogène du domaine). Les longueurs caractéristiques de variation $ℓ_{y}$ et $ℓ_{z}$ du champ selon $y$ et $z$ doivent être grandes devant $a_{0}$ :

$a_{0} \frac{\partial u}{\partial y} ≪ ∣ u ∣, a_{0} \frac{\partial u}{\partial z} ≪ ∣ u ∣,$

et de même pour les dérivées premières : $a_{0} \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} ≪ \frac{\partial u}{\partial y}$ , $a_{0} \frac{\partial ^{2} u}{\partial z ^{2}} ≪ \frac{\partial u}{\partial z}$ (la déformation est quasi uniforme sur $a_{0}$ ). Pour un champ sinusoïdal de nombres d'onde $q$ selon $y$ et $k$ selon $z$ , ces conditions s'écrivent $q a_{0} ≪ 1$ et $k a_{0} ≪ 1$ : les longueurs d'onde des déformations doivent couvrir un grand nombre de molécules et de couches. On peut alors faire tendre la taille de l'élément de volume vers zéro à l'échelle macroscopique tout en le gardant grand à l'échelle moléculaire (échelle mésoscopique).

Q12. $u = u (z)$ : tous les points d'un même plan horizontal ont le même déplacement. Dans le domaine $D$ (cube de côté $a_{0}$ , face inférieure en $z$ , face supérieure en $z + a_{0}$ ) :

les huit arêtes horizontales (selon $e_{x}$ et $e_{y}$ ) sont translatées sans changer de longueur : énergie nulle ;
les quatre arêtes verticales passent de $a_{0}$ à $a_{0} + u (z + a_{0}) - u (z) \approx a_{0} (1 + \frac{\partial u}{\partial z})$ (hypothèse $H_{u}$ : $\partial u / \partial z$ uniforme sur $a_{0}$ ) : allongement $a_{0} \partial u / \partial z$ .

Énergie du domaine, puis énergie par unité de volume (volume $a_{0}^{3}$ ) :

$E_{D} = 4 \times \frac{1}{2} K (a_{0} \frac{\partial u}{\partial z})^{2} = 2 K a_{0}^{2} (\frac{\partial u}{\partial z})^{2}, e_{E} = \frac{E _{D}}{a _{0}^{3}} = \frac{2 K}{a _{0}} (\frac{\partial u}{\partial z})^{2} = \frac{1}{2} B (\frac{\partial u}{\partial z})^{2},$

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